Na entrada anterior, ficou provado que qualquer colineação perspetiva pode ser obtida como composta de duas polaridades. Vamos agora ver o que se passa com colineações projetivas que não sejam perspetivas. Para obter uma colineação projetiva não perspetiva, usámos o Modo Transformação do Cinderella e obviamente o teorema, antes demonstrado, que garante a unicidade da colineação projetiva entre dois quadrângulos dada a ordem dos vértices correspondentes.
No caso, a projetividade está bem definida por P→P',Q→Q', R→R' e S →S' (referida no botão ao alto à direita que permite determinar imagens de pontos, retas ou figuras previamente selecionados)
Por essa projetividade, obtivemos A' imagem de A, a' imagem de a que passa por A, a'' imagem de a' e a''' imagem de a''. Claro que A'∈a', bem como a imagem A'' de A' está sobre a''.
A imagem de a.a''=B é a'.a'''=B' e a imagem de a'.a''=C é a''.a'''=C'.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Esta colineação projetiva transforma o quadrângulo AA'BC no quadrângulo A'A''B'C'.
E o mesmo faz a composta das polaridades (AA''B)(A'a') e (A'A''C)(Aa'''):
Por (AA''B)(A'a') transforma-se A no seu lado oposto A''B=A''C=a'', A'' em AB=a, B em AA'' C=a'.a''em A'A e A' em a' e (A'A''C)(Aa''') transforma A''C=a'' em A' (seu vértice oposto), A'C=a' em A'', A'A'' em a'''.a'=B' e A'A em a''.a'''=C'. Resumindo, a composta dessas duas polaridades transforma AA'BC em A'A''B'C' tal como a colineação projetiva faz.
Uma colineação projetiva pode ser expressa como produto (ou composta) de duas polaridades