Acrescentaremos novos axiomas à medida que for sendo necessário.
E é altura de introduzirmos dois novos axiomas. A saber:
1. Se quatro pontos distintos A, B, D, E forem tais que AB interseta DE, então AD interseta BE. Segue-se a figura dinâmica em que pode deslocar pontos e retas:
Este axioma aparecia como necessário para provar o Teorema de Desargues (caso não o tivessemos então considerado axioma).
2. Sempre aceitámos a ideia de que os pontos diagonais de um quadrilátero completo formam um triângulo, ou seja, que os três pontos diagonais de um quadrilátro completo nunca são colineares. Acrescentamos esse resultado sublinhado como axioma.
Decorre deste axioma que os conjugados harmónicos C e F são distintos, excepto no caso degenerado em que ambos coincidem com A ou coincidem com B.
Dito de outro modo: Se A, B, C são distintos, a relação H(AB, CF) implica que F é distinto de C.

Desloque C sobre AB, para verificar que F só coincide com C quando C coincide com A ou com B (o que só acontece com G em A ou B)

E assim, em consequência desse axioma, há pelo menos quatro pontos em cada reta, já que os três pontos diagonais não são colineares o que garante que F e C são distintos entre si e distintos de A e B.