Os novos programas do ensino básico insistem nas definições e em raciocínios demonstrativos. Procuramos algumas definições simples e demonstrações que possam ser apresentadas com vantagem a jovens dos 12 ou 13 anos... Nesta entrada e noutras que se seguirão,vamos pensar alto sobre alguns exemplos.

Damos o nome de mediatriz de um segmento de recta AB (de extremos A e B, muitas vezes representado por [AB]) à recta perpendicular a AB que passa pelo ponto médio do segmento. E podemos dizer que, com esse enunciado, damos uma definição de mediatriz de um segmento. Depois falamos simplesmente de mediatriz e até convencionamos que este nome só se aplica a segmentos de recta, sem nos preocuparmos com mais explicações. De facto, de cada vez que nomeamos alguma coisa, usamos outras palavras e nomes a que atribuímos sentidos conhecidos e aceites. Quando argumentamos, usamos sempre algumas verdades que os nossos interlocutores conhecem e aceitam. Por vezes, não pensamos nisso e os nossos argumentos tornam-se em coisas sem sentido para quem ouve ou lê.

Suponhamos que estamos a escrever sobre a mediatriz para um jovem de 13 anos. Mediatriz, segmento, recta, semirecta, perpendicular, ponto, médio? Colineares? Ângulos? Rectos? Triângulos? E igualdade geométrica (ou congruência) de triângulos? Casos de igualdade de triângulos? Distância? Equidistante?... Suponhamos que sabe o que seja tudo isso...

E produzimos a afirmação: Os pontos de uma recta dada r que seja a mediatriz de um segmento de recta AB (no sentido da definição acima introduzida) estão a igual distância de A e de B.
À luz do que sabemos e aceitamos como verdadeiro, a afirmação proferida será verdadeira ou falsa?
Escrevemos a afirmação de outro modo, ligeiramente diferente, representando por AP a distância de A a P. Pode ser?
Se r é a mediatriz de AB e P é um ponto de r, então AP=BP




De acordo com a definição de mediatriz, r corta a recta AB num ponto M, tal que AM=MB (A, M e B são colineares, claro!) e AMP=BMP = 1 recto (escrevemos AMB para designar de forma económica o ângulo das duas semirectas MA e MP (ou de lados MA e MP) e vértice M). Os triângulos AMP e BMP são congruentes por terem dois lados iguais AM=MB e MP=MP e serem iguais os ângulos por eles formados AMP=BMP. Admitimos ainda que todos sabemos que , em triângulos iguais, a ângulos iguais se opõem lados iguais, para podermos então concluir que o lado AP (oposto a AMP) é igual a BP (oposto a BMP).



Àquela afirmação chamamos Teorema, uma afirmação que carece de argumentos a seu favor para ser verdadeira considerando o que conhecemos e aceitamos como verdadeiro. Ao conjunto de argumentos a seu favor, cada um deles válido e válidos em conjunto, que produzimos chamamos demonstração (no exemplo, válida).

Ficamos a saber que os pontos que estão sobre a mediatriz de AB estão equidistantes de A e de B. Nada mais que isso.
Haverá outros pontos equidistantes de A e B, para além dos que constituem a mediatriz? Ou dito de outro modo: Se um ponto é equidistante de A e de B então está na mediatriz de AB?

A afirmação (teorema) que demonstrámos parte da definição de mediatriz para uma propriedade dos seus elementos. Podemos qualificá-la como sendo um teorema directo.

E vale a pena chamar teorema recíproco daquele à proposição em que se afirme que os pontos equidistantes de A e B estão sobre a mediatriz de AB. E parece que tem sentido, lembrarmos que o enunciado recíproco de um directo verdadeiro, pode não ser verdadeiro. No 7º ano de escolaridade, ou até antes, os jovens aprendem que os ângulos verticalmente opostos são iguais, mas que há ângulos iguais que não são verticalmente opostos.



Enunciemos e demonstremos o teorema recíproco:
Qualquer ponto P equidistante dos pontos A e B está sobre a mediatriz de AB



A figura dinâmica em que pode deslocar P, A e B só sugere que a afirmação é verdadeira


Para demonstrar este teorema, vamos admitir que os nossos jovens de 13 anos sabem o que é a bissectriz de um ângulo e sabem os casos de igualdade de triângulos, como já tinha sido admitido para a demonstração do teorema directo. Podíamos escolher outros conhecimentos para a nossa argumentação, por exemplo, sobre simetrias...
Tomemos a bissectriz do ângulo APB , de vértice P e lados PA e PB, que intersecta AB num ponto C (como se mostra na figura). Sabemos que, sendo PC a bissectriz de APB é verdade que APC=BPC. Os triângulos APC e BPC são iguais por terem dois lados iguais - PA=PB, de acordo com as condições do enunciado, e PC comum, e iguais os ângulos APC e BPC por eles formados. Em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais. AC opõe-se a APC e BC opõe-se a BPC e, por isso, AC=CB que é o mesmo que dizer que C é o ponto médio de AB. Do mesmo modo (reciprocamente) se pode concluir que ACP=BCP, por se oporem a AP e BP, e que, por serem suplementares para além de iguais, são ambos rectos. Fica assim claro que se P é equidistante de A e de B, P está sobre a recta PC perpendicular a AB passando pelo seu ponto médio. PC é a mediatriz de AB.




Não há dúvida que os pontos da mediatriz de AB têm a propriedade de serem equidistantes de A e de B e que os pontos gozando dessa propriedade estão sobre a mediatriz. Fora da mediatriz de AB, não há pontos equidistantes de A e B. Por isso, dizemos que a mediatriz de AB é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e B.


Podíamos ter definido a mediatriz de AB de outro modo. Por exemplo, como o conjunto dos pontos equidistantes de A e B, e virmos a enunciar e demonstrar como teorema que a mediatriz de AB é uma recta perpendicular a AB que passa pelo seu ponto médio.


O que nos interessa agora é explorar a mediatriz como lugar geométrico de pontos equidistantes para demonstrar novos resultados. Parecem-nos bons exemplos para iniciar o ensino de demonstrações. E parece-nos mesmo que seria um bom momento para separar as construções dinâmicas, que sugerem resultados, daquilo que possa ser considerado demonstração.



E talvez valha pena aproveitar a oportunidade para falar do teorema a que poderemos chamar contrário do teorema directo, a saber: Se um ponto P não é ponto da mediatriz do segmento AB, então não está à mesma distância de A e de B .


Pode deslocar o ponto P no plano e verificar que se o ponto P está fora da mediatriz, então não é equidistante de A e B. Não serve de prova, claro!

Sempre pode propor uma demonstração para este teorema contrário.