Apresentamos mais uma resolução de problema que recorre à inversão:
Dado um paralelogramo $\;[ABCD]$, determinar um losango $\;[MNPQ]\;$ nele inscrito e com uma área dada.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

No caso da nossa construção procurámos um losango de área $72$.
  1. No paralelogramo $[ABCD]$ as diagonais — $AC, BD$ — intersetam-se num ponto $O$. Qualquer outro paralelogramo $[MNPQ]$ em que $M \in AB, N \in BC, P\in CD, Q \in DA$ tem o mesmo centro $O$, ou seja, $MP.NQ={O}$
  2. A área de tal losango é dada pelo semiproduto das suas diagonais $$\frac{MP \times NQ}{2} = \frac{2OP \times 2OQ}{2} =2\times OP \times OQ$$
  3. Já que a área é 72, $OP \times OQ =36$. Sabemos que uma circunferência de raio $6$ e centro $O$ define uma inversão e, para ela, o ponto $E$ de $[AD]$ tem um correspondente $E'$, sendo $OE \times OE'=36$. Como as diagonais do losango são perpendiculares, escolhemos $E$ como pé da perpendicular a $AD$ tirada por $O$.
  4. Determinado $E'$ sobre $OE$, bastará efetuar uma rotação, de centro $O$ e um ângulo reto de amplitude, da circunferência de diâmetro $[OE']$ que deve intersetar o lado $CD$ em um ou dois pontos. Escolhemos um deles para o vértice $P$ do losango
  5. Conhecido $P$, ${M}=AB.OP$ e tirando por $O$ uma perpendicular a $OP$ esta interseta $AD$ e em $BC$ nos pontos $Q$ e $N$, respetivamente.