Sobre uma outra construção do dodecaedro.

Das construções que fizemos seguindo o LIVRO XIII DE "OS ELEMENTOS", uma delas foi a do dodecaedro inscrito numa dada esfera seguindo, passo a passo, as instruções da Proposição 17 do Livro XIII.
Nesta entrada, apresentamos um pequena animação em video, a partir de uma proposta de construção que nos foi apresentada por João Almiro de Tondela.

Aprsentamos os passos fundamentais que nos são sugeridos no guião (usado em formações viseenses em volta do Cabri3D):
  1. Construir no plano $\;xOy\;$ um pentágono regular centrado num ponto $\;O\;$
  2. Traçar uma circunferência em torno de um dos lados do pentágono e que passe por $\;O\;$. Sobre essa circunferência tomamos um ponto $\;A\;$ variável por rotação de $\;O\;$ em torno do lado escolhido e segundo uma amplitude $\;\alpha\;$ variável. Para a posição inicial tomamos $\;\alpha = \pi rad\;$
  3. Por esssa rotação que faz corresponder $\;O\;$ a $\;A\;$, aplicada ao pentágono original, obter o pentágono regular de centro em $\;A\;$ e com o lado - eixo de rotação - comum aos dois.
  4. Tirar por $\;O\;$ uma perpendicular ao plano desse pentágono
  5. Rodando o segundo pentágono em torno do eixo perpendicular ao primeiro pentágono no seu centro segundo amplitudes $\; \displaystyle \frac{2\pi}{5}, \frac{4\pi}{5}, \frac{6\pi}{5}, \frac{8\pi}{5} \;$ obtemos mais 4 pentágonos que tal como o segundo têm um lado comum com o primeiro centrado em $\;O\;$
  6. Se $\;\alpha \neq k\pi,\;$ para $\;k\; $ inteiro, as perpendiculares tiradas pelos centros dos pentágonos construídos intersectam-se num ponto que, para um dado valor de $\, \alpha \;$ é o centro do dodecaedro e reflectindo nele os seis pentágonos construídos se obtêm as restantes faces do dodecaedro. Basta-nos tomar as perpendiculares tiradas por $\;O\;$ e $\;A\;$ aos primeiro e segundo pentágonos.

No url
http://geometrias.eu/depositum/tarefasCabri3DVisprof(viaJ.Almiro).pdf
terá acesso ao texto do conjunto de enunciados que temos seguido)