Por processo análogo ao usado para determinar $\;E, \;F\;$ determinamos um ponto $\;G\;$ tal que $\;GA=GB=GF=AB, \;$ isto é, um tetraedro regular de faces $\;ABF, \; ABG, \;AFG, \;BFG\;$
Repetimos o processo para determinar $\;H, \;I, \;J, \;K, \;L, \;M, \;N\;$ ou seja até obtermos 8 tetraedros regulares, cada um tendo por base uma das faces do octaedro inicial.
Podemos olhar agora para o conjunto dos pontos que fomos construindo, e ver o que obtivemos para além do octaedro inicial:
Se considerássemos como vértices os 14 pontos $\;A, \;B, \; C,\;D,\;E, \;F, \;G, \;H, \;I, \;J, \;K,\;L, \;M, \;N;\;$ como arestas os 36 segmentos iguais $\;AB,\;AF,\;BF,\;GA,\;GB,\;GF, \;BC,\;CF\;HB, \;HC, \;$ $HF, \;CD, \;DF,\;IC, \;ID, \;IF, \;AD, \;JA, \;JD, \;JF, \;AE,\;KA, \;KB, \;KE, \;BE,\;CE, \;LB, \;LC, \;$ $LE, \;MC,\;MD, \;ME, \;NA,\;ND,\;NE \;$ e, como faces, os 24 triângulos equiláteros iguais$\; GAB,\;GAF,\;GBF,\;HBC,\;HBF, \;HCF, \;ICD, \;ICF, \;IDF; \;JAD, \;JDF, \;JDF, \; KAB, \;KAE,$ $ \;KBE, \; LBC, \;LBE, \;LCE, \; MCD, \;MCE,\;MDE, \;NAD,\; NAE, \;NDE, \;$ temos um poliedro não convexo de faces todas iguais a que se chama stella octangula.
Mas, de facto, consideram-se tão só 8 faces de dois tetraedros que se interpenetram (cruzam), no caso, um azul $\;HKJM\;$ e outro amarelo $\;GNLI.\;$ E é, por isso, que a stella octangula se considera um octaedro estrelado cujas faces são $\;GIN, \;GNL, \;GLI, \;INL, \; HJK, \; HMJ, \;HKM,\;JKM.\;$ Dos 14 pontos considerados antes retiramos os 6 vértices do octaedro original $\;A, \;B,\;C,\;D,\;E,F\;$ médios dos segmentos $\;JK, \;HK, \;HM, \;JM, \; LN, \;HJ,\;$ respetivamente. O octaedro original é a intersecção destes dois tetraedros.
Finalmente, sem os vértices do octaedro inicial, consideramos o hexaedro de 8 vértices $\;G, \;H, \;I, \;J,\; K, \;L, \;M, \;N, \;$ 12 arestas $\;GH,\;GJ, GK, \;GN, \; HI, \;HL, \;IJ, \;IM, \;JN, \;KN \;$ $MN \;$ e 6 faces $\;GHIJ, \; KLMN, \;IJMN, \;JNKG, \;GKLH, \; HLMI\;$ - cubo, já que as diagonais de cada uma das faces são perpendiculares e iguais em comprimento à soma de duas arestas do octaedro de que partimos. Este cubo é o dual do octaedro original. Os 6 vértices do octaedro $\;A, \;B, \;C, \;D, \;E, \;F \;$ são centros das faces do cubo $\; GJNK, \;$ $HGKL, \;IMLH, \;JNMI,\;KLMN, \;GHIJ\;$ respetivamente.
Para esta entrada, a proposta de trabalho inclui as comparações dos volumes dos diversos sólidos que foram sendo construídos:
octaedro,
tetraedro,
stella octangula e
cubo. Como já fizemos antes, não vamos conjeturar a partir das recomendadas ferramentas de medição disponibilizadas no geogebra.
Escolhendo para unidade de comprimento a aresta do ocatedro $\;AB\;$ que aqui designamos por $\;u,\;$ a aresta do tetraedro é também $\;u\;$, e a diagonal facial do cubo é $\;2u.\;$
Como, por exemplo, $\;JK^2=KN^2+JN^2, \;$ a aresta do cubo vale $\; \sqrt{2}\;u. \; $ E, em consequência, o volume do cubo vale $$\; 2\sqrt{2} \; u^3.\;$$
A diagonal $\;AC\;$ de $\;ABCD\;$ é igual a $\;EF\;$ que são iguais em comprimento à aresta do cubo. E, por isso, o volume do octaedro regular é
$$\;\frac{1}{3}{u^2}\times\sqrt{2}u = \frac{\sqrt{2}u^3}{3}$$
Cada tetraedro de aresta $\;u\;$ tem por base um triângulo equilátero de lado $\;u\;$ e área $$\; \frac{1}{2}u\times \frac{\sqrt{3}.u}{2} =\frac{\sqrt{3}. u^2}{4}.\;$$
Lembramos que, por exemplo, pelo baricentro $\;G_1\;$ do triângulo $\;ABF\;$ passam as alturas de $\;ABF\;$ e que por ele ficam divididas em segmentos na razão de 1 para 2, sendo também o pé da altura do tetraedro $\; ABFG.\;$ Se chamarmos $\;H_F\;$ ao pé da altura relativa a $\;AB\;$ de $\;ABF, \;\;\displaystyle \;G_1H_F= \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}\;u}{2} =\frac{\sqrt{3}u}{6}\;$ sendo $\;GH_F = FH_F= \displaystyle \frac{\sqrt{3}u}{2}\;$ e o triângulo $\;GG_1H_F\;$ rectângulo em $\;G_1 : \;$ $$\displaystyle {GG_1}^2= {GH_F}^2 - {G_1H_F} ^2 = \frac{3u}{2} \; $$
O volume do tetraedro $\;ABFG\;$ é pois
$$ \, \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3} \;u^2}{4} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \; u = \frac{\sqrt{2}}{12} \;u^3 \;$$
A stella octangula pode ser decomposta num octaedro de volume $\;\displaystyle \frac{\sqrt{2}u^3}{3}\;$ e 8 tetraedros iguais, cada um com volume $\;\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12} \;u^3 .\;$ O seu volume é assim
$$\;\displaystyle \frac{\sqrt{2}u^3}{3} + 8 \times \frac{\sqrt{2}}{12} \;u^3 = \frac{3 \sqrt{2}}{4} \;u^3\;$$
Como vimos
$$\;V_{\mbox{cubo}} =2\sqrt{2}\;u^3 $$
$$\;V_{\mbox{octaedro}} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}\;u^3}{3}$$
$$\;V_{\mbox{tetraedro}} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12} \;u^3 \;$$
$$\;V_{\mbox{stella octangula}} = \displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{4} \;u^3\;$$
o que torna simples as comparações entre os volumes dos sólidos com que trabalhámos nesta entrada:
$$\; V_{\mbox{cubo}} = 6 \times V_{\mbox{octaedro}}=24 \times V_{\mbox{tetraedro}} \;$$
$$\;V_{\mbox{octaedro}} = 4 \times V_{\mbox{tetraedro}}\;$$
$$\; 3 \times V_{\mbox{cubo}}= 4 \times V_{\mbox{stella octangula}} \;$$
No url
http://geometrias.eu/depositum/tarefasCabri3DVisprof(viaJ.Almiro).pdf
terá acesso ao texto do conjunto de enunciados para o que se seguirá)