A stella octangula a partir de um octaedro. E um cubo.



Nesta entrada, propomo-nos construir (em “geogebra, vista 3D”)
  1. um octaedro regular

  2. Clique no botão de reiniciar mal a figura esteja carregada. Pode rodar a figura, deslocando o ponto $\;A\;$ verde

    © geometrias. 9 dezembro 2016, Criado com GeoGebra

  3. Por processo análogo ao usado para determinar $\;E, \;F\;$ determinamos um ponto $\;G\;$ tal que $\;GA=GB=GF=AB, \;$ isto é, um tetraedro regular de faces $\;ABF, \; ABG, \;AFG, \;BFG\;$
  4. Repetimos o processo para determinar $\;H, \;I, \;J, \;K, \;L, \;M, \;N\;$ ou seja até obtermos 8 tetraedros regulares, cada um tendo por base uma das faces do octaedro inicial.
  5. Podemos olhar agora para o conjunto dos pontos que fomos construindo, e ver o que obtivemos para além do octaedro inicial:
  6. Para esta entrada, a proposta de trabalho inclui as comparações dos volumes dos diversos sólidos que foram sendo construídos: octaedro, tetraedro, stella octangula e cubo. Como já fizemos antes, não vamos conjeturar a partir das recomendadas ferramentas de medição disponibilizadas no geogebra.
  7. Como vimos
    $$\;V_{\mbox{cubo}} =2\sqrt{2}\;u^3 $$
    $$\;V_{\mbox{octaedro}} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}\;u^3}{3}$$
    $$\;V_{\mbox{tetraedro}} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12} \;u^3 \;$$
    $$\;V_{\mbox{stella octangula}} = \displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{4} \;u^3\;$$ o que torna simples as comparações entre os volumes dos sólidos com que trabalhámos nesta entrada:
    $$\; V_{\mbox{cubo}} = 6 \times V_{\mbox{octaedro}}=24 \times V_{\mbox{tetraedro}} \;$$
    $$\;V_{\mbox{octaedro}} = 4 \times V_{\mbox{tetraedro}}\;$$
    $$\; 3 \times V_{\mbox{cubo}}= 4 \times V_{\mbox{stella octangula}} \;$$

No url
http://geometrias.eu/depositum/tarefasCabri3DVisprof(viaJ.Almiro).pdf
terá acesso ao texto do conjunto de enunciados para o que se seguirá)