Recomendamos que clique no botão de reiniciar antes de começar a manipular a construção. A figuras pode ser movimentada deslocando o ponto $\;A$, mas vale a pena observar de vários pontos de vista os diversos passos da construção usando as ferramentas apropriadas.
Construímos um cubo transparente com uma das faces $\;ABCD\;$ no plano $\;xOy\;$, sendo os pontos $\;B,$ dependente de $\;A\;$ que é livre de rodar em torno do eixo $\;Oz.\;$ Os restantes vértices do cubo são dados pela ferramenta de construção de um cubo dada uma aresta $\;AB\;$ e o plano em que incide $\; xOy.\;$
Construímos o triângulo $\;[AFH]\;$ equilátero, já que os lados são diagonais faciais de um mesmo cubo. Em função da resta $\;AB =a\;$, o lado do triângulo $\;[AFH];$ $\displaystyle\;AF=FH=HA= \sqrt{2} . a ,\;$ o seu perímetro é $\displaystyle\;AF+FH+HA = 3\sqrt{2} . a\;$ e a sua área é, como já vimos em entradas anteriores, $\displaystyle\;\sqrt{6} . a^2.\;$ Este triângulo divide o cubo em dois sólidos sendo um deles a pirâmide $\displaystyle\;FHEA,\;$ (base $\displaystyle\;EFH\;$ de área $\displaystyle\;a^2 \over 2\;$ e altura $\displaystyle\;EA=a\;$ e, como já vimos antes,) de volume $\displaystyle\;\frac{a^3}{6}.\; $ O volume do sólido sobrante é $\displaystyle\;\frac{5a^3}{6}\;$
Construímos depois o polígono cujos vértices são os pontos médios $\displaystyle\;I,\;J,\;K,\;L,\:
;M,\;N\;$ das arestas do cubo $\displaystyle\;AB,\;BF, \; GH,\;HD,\;DA,\;$ respetivamente. Trata-se de um hexágono regular de lado igual a metade do lado do triângulo $\displaystyle\;AFH;\;$ basta observar que $\displaystyle\;IJ\;$ une os pontos médios dos lados $\displaystyle\;AB\;$ e $\displaystyle\;BF\;$ do triângulo $\displaystyle\;ABF\;$ para concluir que $\displaystyle \;2.IJ =AF\;$ e $\displaystyle\;IJ \parallel AF.\;$ E, concluir que os perímetros de $\displaystyle\;AFH =3 AF\;$ e de $\displaystyle\;IJKLMN =6.IJ\;$ são iguais.
Sabemos também que este hexágono regular divide o cubo $\displaystyle\;ABCDEFGH\;$ em dois poliedros iguais
$\displaystyle\;AEFHIJKLMN\;$ de faces $\displaystyle \;[AIN], \;[FJK], \;[LHM]\;$ - triangulares, $\displaystyle \;[EAFIJF], \; [EFKLH], \;[EHMNA] \;$ -pentagonais, e $\displaystyle \;[IJKLMN]\;$ - hexagonal, e
$\displaystyle\;IJKLMNBCDG,\;$ de faces $\displaystyle\;[IJKLNMN], $-hexagonal, $\displaystyle \;[BINDC],\; [CBJKG], \;[GCDML],\;$ - pentgonais e, $\displaystyle \;[BIJ],\;[GKL],\;[DMN] \;$ - triangulares.
Destes poliedros que resultam da divisão do cubo pelo hexágono $\displaystyle \;IJKLMN\;$, sabemos que são iguais as somas das áreas das faces, como são iguais $\;\displaystyle \frac{a^3}{2}\;$ os seus volumes.
Finalmente, os dois polígonos $\displaystyle \;[AFH], \; [IJKLMN] \,$ dividem o cubo em três poliedros:
a pirâmide $\displaystyle\;EFHA,\;$ e
o poliedro $\displaystyle\;IJKLMNBCDG\;$ já abordados, e
entre eles, o poliedro $\displaystyle \; AFH IJKLMN\;$ de faces $\displaystyle \;[AFH], \;[AIH],\;[JFK], \;[LHM]\;$ - triangulares, $\displaystyle \; [AIJF], \; [FKLH], \;[HMNA]\;$ - quadriláteras, e $\displaystyle \;[IJKLMN]\;$ - hexagonal
Falta comparar o volume deste último poliedro de 8 faces com o volume dos outros e do cubo:
$$ \displaystyle \; V_{AFHIJKLMN}= V_{ \; AEFHIJKLMN\;} - V_{FHEA} = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{6} = \frac{a^3}{3}\;$$
Copie o url
http://geometrias.eu/depositum/tarefasCabri3DVisprof(viaJ.Almiro).pdf
e terá acesso ao texto do conjunto de enunciados para o que se seguirá)