Perímetros, áreas e volumes no cubo



Recomendamos que clique no botão de reiniciar antes de começar a manipular a construção. A figuras pode ser movimentada deslocando o ponto $\;A$, mas vale a pena observar de vários pontos de vista os diversos passos da construção usando as ferramentas apropriadas.

© geometrias.30 novembro 2016, Criado com GeoGebra

  1. Construímos um cubo transparente com uma das faces $\;ABCD\;$ no plano $\;xOy\;$, sendo os pontos $\;B,$ dependente de $\;A\;$ que é livre de rodar em torno do eixo $\;Oz.\;$ Os restantes vértices do cubo são dados pela ferramenta de construção de um cubo dada uma aresta $\;AB\;$ e o plano em que incide $\; xOy.\;$
  2. Construímos o triângulo $\;[AFH]\;$ equilátero, já que os lados são diagonais faciais de um mesmo cubo. Em função da resta $\;AB =a\;$, o lado do triângulo $\;[AFH];$ $\displaystyle\;AF=FH=HA= \sqrt{2} . a ,\;$ o seu perímetro é $\displaystyle\;AF+FH+HA = 3\sqrt{2} . a\;$ e a sua área é, como já vimos em entradas anteriores, $\displaystyle\;\sqrt{6} . a^2.\;$ Este triângulo divide o cubo em dois sólidos sendo um deles a pirâmide $\displaystyle\;FHEA,\;$ (base $\displaystyle\;EFH\;$ de área $\displaystyle\;a^2 \over 2\;$ e altura $\displaystyle\;EA=a\;$ e, como já vimos antes,) de volume $\displaystyle\;\frac{a^3}{6}.\; $ O volume do sólido sobrante é $\displaystyle\;\frac{5a^3}{6}\;$
  3. Construímos depois o polígono cujos vértices são os pontos médios $\displaystyle\;I,\;J,\;K,\;L,\: ;M,\;N\;$ das arestas do cubo $\displaystyle\;AB,\;BF, \; GH,\;HD,\;DA,\;$ respetivamente. Trata-se de um hexágono regular de lado igual a metade do lado do triângulo $\displaystyle\;AFH;\;$ basta observar que $\displaystyle\;IJ\;$ une os pontos médios dos lados $\displaystyle\;AB\;$ e $\displaystyle\;BF\;$ do triângulo $\displaystyle\;ABF\;$ para concluir que $\displaystyle \;2.IJ =AF\;$ e $\displaystyle\;IJ \parallel AF.\;$ E, concluir que os perímetros de $\displaystyle\;AFH =3 AF\;$ e de $\displaystyle\;IJKLMN =6.IJ\;$ são iguais.
    Sabemos também que este hexágono regular divide o cubo $\displaystyle\;ABCDEFGH\;$ em dois poliedros iguais Destes poliedros que resultam da divisão do cubo pelo hexágono $\displaystyle \;IJKLMN\;$, sabemos que são iguais as somas das áreas das faces, como são iguais $\;\displaystyle \frac{a^3}{2}\;$ os seus volumes.
  4. Finalmente, os dois polígonos $\displaystyle \;[AFH], \; [IJKLMN] \,$ dividem o cubo em três poliedros:
  5. Falta comparar o volume deste último poliedro de 8 faces com o volume dos outros e do cubo: $$ \displaystyle \; V_{AFHIJKLMN}= V_{ \; AEFHIJKLMN\;} - V_{FHEA} = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{6} = \frac{a^3}{3}\;$$

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http://geometrias.eu/depositum/tarefasCabri3DVisprof(viaJ.Almiro).pdf
e terá acesso ao texto do conjunto de enunciados para o que se seguirá)