a construção para o teorema do telhado

Como foi anunciado em tempos, de um professor de Tondela (Viseu) recebemos um caderno de exercícios de construção que nos ajuda como uma luva a proteger-nos da arrogância da nossa ignorância em construções geométricas em "vista 3D do GeoGebra" que andamos a aprender fazendo bem (umas vezes) e mal (outras) e sempre com dificuldades acrescidas pelas nossas incapacidades: de visualização, de misturas de cores e contrastes, em transparências e opacidades, etc.
Estes enunciados foram apresentados desde tempos idos (para serem feitos usando o Cabri 3D que também usámos noutras circunstâncias sem deixar rasto neste "lugar geométrico") em ações de formação promovidas pela Associação de Professores de Matemática, pelo menos em Viseu.

O primeiro desses enunciados refere-se a um "Teorema do Telhado". Com a devida vénia ao "VisProf", com algumas adaptações aqui fica.

enunciadoConstrói uma figura que ilustre o seguinte teorema:
Se o plano $\; \alpha\;$ contém uma reta $\;a\;$ paralela a uma reta $\;b\;$ de um outro plano $\;\beta,\;$ concorrente com $\;\alpha, \;$ então a reta $\;c\;$ de intersecção desses dois planos é paralela às retas $\;a\;$ e $\;b.\;$
construção: a seguir, passo a passo
1 Apresentam-se as duas retas paralelas: $\;a\;$ de azul e a $\;b\;$ de vermelho.



© geometrias.26 setembro 2016, Criado com GeoGebra

2 Tomando um ponto $\;Q\;$ qualquer, exterior tanto a $\;a\;$ como a $\;b,\;$ consideramos os planos $\;\alpha\;$ azul definido por $\;a\;$ e $\;Q\;$ e o plano $\;\beta\;$ vermelho definido por $\;b\;$ e $\;Q.\;$
Por terem um ponto $\;Q\;$ comum a ambos, os planos $\;\alpha\;$ e $\;\beta\;$ são concorrentes, como queremos que sejam.
3 A intersecção de dois planos não paralelos é sempre uma reta, no caso $\;c\;$ cor de ouro. Será que $\;c \parallel a$?.
4 Consideramos ainda o plano $\;\delta\;$ determinado pelas retas paralelas $\;a\;$ e $\;b.\;$

demo Suponhamos que $\;c\;$ não é paralela a $\;b.\;$
Como $\;c= \alpha \cap \beta \;$ e $\; b \subset \beta \;\;\; b \;$ e $\; c$ são complanares (sobre o mesmo plano $\;\beta\;$). Sendo complanares não paralelas, são concorrentes:
Há um ponto em $\;\beta\;$ comum a $\;b\;$ e $\;c\;$ que também é de $\;\delta,\;$ por ser de $\;b.\;$
E como $\; c \;$ também é uma reta de $\; \alpha\;$, qualquer ponto de $\;c\;$ também é ponto de $\;\alpha\;$ e o ponto de intersecção de $\;c\;$ com $\;b\;$ ou com $\;\delta\;$ também é um ponto de $\;\alpha \;$ ou seja é ponto de $\;\alpha \cap \delta = a\;$ o que contraria a hipótese $\;a \parallel b\;$

Copie o url
http://geometrias.eu/depositum/tarefasCabri3DVisprof(viaJ.Almiro).pdf
e terá acesso ao texto do conjunto de enunciados para o que se seguirá)