Qualquer projetividade entre pontuais sobre a mesma base pode ser expressa como composta de duas involuções.
Seja a projetividade definida por ABC→A'B'C', em que nem A nem B são imagens de si próprios. É óbvio que a composta das involuções (AB')(BA') e (A'B')(C'D) em que D é a imagem de C por (AB')(BA').
Qualquer involução (entre pontuais sobre uma mesma reta) que tenha um ponto duplo B(imagem de si mesmo) tem um outro ponto duplo A que é o conjugado harmónico de B relativamente a qualquer par de pontos correspondentes distintos.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Já vimos antes que se uma projetividade tiver três pontos duplos é a identidade. Seja B um ponto duplo de uma involução BCC'→BC'C ou (BB)(CC') e A o conjugado harmónico de B relativamente a C e C', univocamente determinado. Pelo teorema fundamental da geometria projetiva, há uma só projetividade que relaciona ABCC' com ABCC' que só pode ser a involução dada.
C' é transformado de C pela involução (AA)(BB) e assim seria mesmo que C coincidisse com A ou B, o que significa que
Qualquer ponto é conjugado harmónico de si mesmo relativamente a si mesmo e outro ponto qualquer