A inversa de uma circunferência de centro $C$ que contém o ponto de inversão $O$ interseta a reta $OC$ no ponto médio de $OC'$, sendo $C'$ o inverso de $C$.

Já sabemos que uma circunferência que passa por $O$, centro de inversão, tem por imagem uma reta perpendicular a $OC$.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar os centros $C$ e $O$ ou as circunferências
Demonstremos.
Seja $r$ o raio da circunferência de inversão $I(O, r)$ e seja $D$ o ponto cujo inverso $D'$ é $B$, que é um ponto da circunferência de centro $C$
$O, \;B,\; C, \;C', \;D\;$ estão sobre a reta que contém o diâmetro $[OD]$ da circunferência de centro $\;C$ e, por isso, $\;OB \times OD =r^2 = OC\times OC'.$ Como $\;2\times OC=OD, \;$ $\;2\times OB\times OC = OC\times OC'\;$ e, em consequência, $\;2 \times OB = OC'\;$, ou seja, $\;OB=BC'\;$ $\hspace{9cm} \square$
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992