A entrada anterior antecipa que
a inversa de uma circunferência que não passa pelo centro $O$ de inversão é uma circunferência que não passa por $O$ (homotéticas por uma homotetia de centro $O$).
A construção que se segue ilustra isso mesmo
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar $P$, bem como $O$ e o centro verde da circunferência a inverter. Tanto a circunferência de inversão (a vermelho) como a circunferência a inverter (a negro) podem variar com deslocações do rato após clicar sobre elas para as selecionar. Desloque o centro da circunferência negra confirmando os casos das entradas anteriores.
Demonstração:
Dada a circunferência a negro, não passando por $O$, que pretendemos inverter por $I(O,r)$. Sobre ela, tome-se o ponto genérico $P$. Determinado $P'$ o inverso $P$, sabemos que $O, P, P'$ são colineares. $OP$ interseta a circunferência num outro ponto, seja $Q$ que terá por inverso $Q'$, como mostra a figura. $$\overline{OP}\times \overline{OP'} = \overline{OQ}\times \overline{OQ'} =r^2, \;\;\; \mbox{potência da inversão}$$. Também sabemos que, sendo $OT$ a tangente à circunferência negra tirada por $O$, $$\overline{OT}^2= \overline{OQ}\times \overline{OP} =k , \;\;\; \mbox{potência de $O$ relativamente à circunferência negra}$$ De $\overline{OQ}\times \overline{OQ'} =r^2$ e de $\overline{OQ}\times \overline{OP} =k $, tiramos $$\frac{\overline{OP}}{\overline{OQ'}}=\frac{k}{r^2} \;\;\; \mbox{constante, para cada par de circunferências (c vermelha, c negra)}$$ Ou seja, quando $P$ descreve a circunferência negra, $Q'$ descreve a curva imagem (cinzenta) da circunferência que pretendemos inverter. Como vimos, há uma homotetia de centro $O$ e razão $\frac{k}{r^2}$ que transforma a circunferência original na curva que é sua inversa.
Como sabemos, por homotetia uma circunferência é transformada noutra circunferência e, por isso, a curva cinzenta é uma circunferência.
Para além disso, sabemos que numa homotetia, o centro é correspondente de si mesmo. Assim, se uma de duas circunferências homotéticas não passa pelo centro da homotetia, a outra também não passa.
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992