A entrada anterior antecipa que
a inversa de uma circunferência que passa pelo centro $O$ da circunferência de inversão é uma reta perpendicular ao seu diâmetro que tem $O$ como um dos seus extremos, tirada pelo inverso do outro extremo do diâmetro
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar $P$, bem como $O$ e o centro verde da circunferência a inverter.

Sobre a circunferência a negro que passa por $O$, tome-se o ponto $A$ diametralmente oposto a $O$ e seja $P$ um ponto genérico da circunferência a inverter. Determinados $A'$ e $P'$ os inversos de $A$ e $P$, sabemos que $O, A, A'$ são colineares como o são os pontos $O, P, P'$ e que $\overline{OA}\times \overline{OA'} = \overline{OP}\times \overline{OP'} = r^2$. Em consequência, $$\frac{\overline{OA'}}{\overline{OP}}= \frac{\overline{OP'}}{\overline{OA}}$$ e $[OAP] \sim [OA'P']$ (dois lados do ângulo $Ô$ comum diretamente proporcionais).
Como $[OA]$ é um diâmetro o ângulo $O\hat{P}A$ é reto, oposto ao lado $OA$ em $[OAP]$ , $O\hat{A'}P' = O\hat{P}A$ por serem opostos aos lados homólogos $OA$ e $OP'$ na semelhança $[OAP] \sim [OP'A']$.
Sendo $O\hat{A'}P'$ um ângulo reto, $P'$ estará sobre a perpendicular a $OA$ em $A'$. Ou seja, os inversos dos pontos $P\neq O$ da circunferência negra estão sobre a reta perpendicular ao diâmetro com extremo em $O$ e tirada pelo inverso do outro extremo do diâmetro. O inverso de $O$ é o ponto ideal $Z$ no infinito dessa reta.
Reciprocamente: seja $P'$ um ponto genérico da reta (a cinzento na figura) que passa por $A'$, que não seja $A'$, e chame-se $P$ â interseção de $OP'$ com a circunferência. $P'$ terá de ser o inverso de $P$. E o ponto no infinito $Z$ será o correspondente de $O$ pela inversão de centro $O$ e raio $r$.

Pode demonstrar que:
A inversa de uma circunferência que não passa pelo centro $O$ de inversão é uma circunferência que não passa por $O$.
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992