Relativamente a uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ um ponto $P$ é transformado por inversão num ponto $P'$, sendo $O, P, P'$ colineares e $\overline{OP} \times \overline{OP'} = r^2$. Quando $P$ se desloca ao longo de uma curva $\cal{C}$, o ponto $P'$ traçará uma curva $\cal{C'}$ e diremos que a curva $\cal{C'}$ dos pontos $P'$, inversos de $P$, é a inversa da curva $\cal{C}$.
Na entrada de hoje, nada de novo. Abordamos as curvas inversas de retas e de circunferências, em diversas posições relativas à circunferência de inversão. Faremos um breve resumo do que sabemos já.
  1. >A inversa de uma reta $a$ que passe pelo centro $O$ da circunferência de inversão é ela própria.
    Na figura, $a=OA$. De facto, sendo $P$ um ponto qualquer de $a$, $P'$ está sobre $OP=a$, por definição de inversão relativa a uma circunferência de centro $O$. O inverso de $O$ é o ponto ideal $Z$ pelo qual todas as retas passam (incluindo $a$ que contém $O$ e o seu inverso $Z$), como convencionámos ao definir o plano inversivo.
    Note que qualquer reta que passe por $O$ corta ortogonalmente a circunferência de inversão e, tal como acontecia à circunferência ortogonal à circunferência de inversão, é inversa de si mesma.
    Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
    Pode deslocar $P$ e a reta $OA$
  2. A inversa de uma reta $a$ que não passa pelo centro $O$ da inversão é uma circunferência que passa por $O$ e tem um diâmetro na perpendicular a $a$ tirada por $O$.

    Seja $A$ o pé da perpendicular a $a$ tirada por $O$ e seja $P$ um ponto genérico de $a$. E sejam $A'$ e $P'$ os inversos de $A$ e $P$. Sabemos que $\overline{OA}\times \overline{OA'} = \overline{OP}\times \overline{OP'} = r^2$. Em consequência, $$\frac{\overline{OA'}}{\overline{OP}}= \frac{\overline{OP'}}{\overline{OA}}$$ e $[OAP] \sim [OP'A]$ (dois lados do ângulo $Ô$ comum diretamente proporcionais) e, por isso, $O\hat{P'}A'= O\hat{A}P = 1 \;\; \mbox{reto}$. Como $O\hat{P'}A'$ é um ângulo reto inscrito, $P'$ estará sobre uma circunferência de diâmetro $[OA']$.
    Reciprocamente: seja $P'$ um ponto genérico da circunferência (a cinzento na figura) que passa por $O$, que nem seja $A'$ nem $O$ e chame-se $P$ á interseção de $OP'$ com $a$. Este ponto $P$ terá $P'$ por inverso. O ponto $O$ será inverso do ponto ideal $Z$ no infinito de $a$.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Pode demonstrar que: A inversa de uma circunferência que passa pelo centro de inversão é uma reta perpendicular ao seu diâmetro que passa por $O$.
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992