A construção desta entrada pretende ilustrar que
A composta de duas inversões relativas a circunferências com o mesmo centro $O$ de potências $k_1$ e $k_2$ - $I(O,k_2)\circ I(O, k_1)$ - é uma homotetia de centro $O$ e razão $\frac{k_2}{k_1}$ - $H(O,\frac{k_2}{k_1})$ $$I(O,k_2)\circ I(O, k_1)= H\left(O,\frac{k_2}{k_1}\right)$$ Na figura, por $I(O, k_1)$, $P$ é transformado em $P'$ e, este, por sua vez, é transformado em $P''$, por $I(O, k_2)$:
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura podem deslocar $P$ livremente no plano. Ao mover o ponto $P$, deixam traços os pontos $P, P', P''$, podendo assim verificar as relações entre as curvas descritas por $P'$ e $P''$ quando $P$ descreve a curva que escolha ao deslocá-lo.

Demonstremos que $$I(O,k_2)\circ I(O, k_1)= H\left(O,\frac{k_2}{k_1}\right)\; :$$
  1. Um ponto $P\neq O$ qualquer do plano, por $I(O, k_1)$, é transformado em $P'$, colinear com $O$ e $P$ e tal que $$\overline{OP} \times \overline{OP'} = r_1 ^2= k_1$$
  2. Seguidamente, por $I(O, k_2)$, $P'$ é transformado em $P''$, colinear com $O$ e $P'$ e tal que $$\overline{OP'} \times \overline{OP''} = r_2 ^2= k_2$$
  3. $O$, $P$ e $P''$ são colineares, sendo $$\overline{OP"}= \frac{k_2}{\overline{OP'}}=\frac{k_2}{\frac{k_1}{\overline{OP}}} \Leftrightarrow \frac{\overline{OP''}}{\overline{OP}}= \frac{k_2}{k_1}$$
  4. Se $P \equiv O$, então $P' \equiv Z$ e $P'' \equiv O$, o que significa que o centro $O$ é invariante pela composta das duas inversões, consistente com a definição de homotetia de centro $O$.

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992