De um modo geral, a uma correspondência entre os conjuntos $\cal{A}$ e $\cal{B}$, para a qual distintos elementos de $\cal{A}$ têm como correspondentes distintos elementos de $\cal{B}$, chamamos transformação (ou correspondência um para um) de $\cal{A}$ em $\cal{B}$.
Podemos convencionar que a inversão $I(O,k)$ é uma transformação do conjunto dos pontos do plano, excepto o ponto $O$, em si mesmo. E isso foi e é suficiente para grande parte do nosso estudo.
Mas, de facto, o mais geral é incluirmos $O$ no domínio da inversão e para que seja uma transformação que faz corresponder a cada ponto do plano um e só um ponto, convencionamos acrescentar ao plano um ponto no infinito (ponto ideal), $Z$, que seja inverso de $O$ e tenha como inverso o ponto $O$. Por este ponto ideal (no infinito), passarão todas as retas do plano (como se a reta no infinito, que passa por todos os pontos no infinito das retas do plano, se reduzisse ou concentrasse num só ponto ideal).
Se tomarmos para unidade o raio da circunferência de inversão, com centro em $O$ dado, para a inversão $\;I(O,1)\;$
$\forall P\neq O, \;\;\; P\longmapsto P' : \hspace{1cm} \overline{OP} \times \overline{OP'} =1 \hspace{1cm} \overline{OP'}=\frac{1}{\overline{OP}} \hspace{1cm} \overline{OP} =\frac{1}{\overline{OP'}}$
$P'$ é o inverso de $P$ quando $\overline{OP'}$ é literalmente o inverso de $\overline{OP}$.
$ O\longmapsto Z : \hspace{1cm} \overline{OO} \times \overline{OZ} =1 \hspace{1cm} \overline{OZ} =\frac{1}{\overline{OO}} \;\; \left(\infty = \frac{1}{0} \right) \hspace{1cm} \overline{OO}=\frac{1}{\overline{OZ}} \; \; \left(0 =\frac{1}{\infty} \right)$
A este convencional e conveniente conjunto dos pontos do plano acrescentados do ponto ideal $Z$, chamamos plano inversivo

Uma transformação $\;\cal{T}\;$ é uma involução, quando e só quando $\;\cal{T} \circ \cal{T} =\cal{I}\;$, sendo $\;\cal{I}(x) =x, \forall x$.
Dito de outro modo, $\cal{T}$ é involução sse $\;\cal{T}(x) = \cal{T}^{-1}(x), \forall x$.
E é óbvio que $\;I(O,k)\;$ é uma involução do plano inversivo em si mesmo, que faz corresponder ao interior do círculo de inversão o seu exterior e deixando invariante cada ponto da circunferência de inversão.
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992