Casos de simetria de figuras.
Nota sobre o não caso da inversão/reflexão

Chamamamos simetria de um conjunto de pontos (ou figura) a qualquer isometria que transforma o conjunto de pontos (ou figura) em si mesma. As isometrias do plano que fixam um conjunto de pontos são as simetrias desse conjunto de pontos. O conjunto das simetrias de uma figura, munido da composição, é um grupo - grupo das simetrias da figura.

  1. Dizemos que o hexágono regular (à esquerda) é uma figura simétrica pela reflexão de eixo (espelho) representado pela reta vermelha. Admite para além desse eixo de simetria, outros cinco. A imagem do hexágono pela reflexão é o hexágono; para cada reflexão são invariantes os pontos do eixo que a define. O ponto de interseção dos eixos de simetria é um centro de simetria: as rotações de n.60º com n inteiro, em torno desse ponto transformam o hexágono em si mesmo; o centro da simetria é invariante para todas as simetrias de rotação; as rotações de n.360º deixam invariantes todos os pontos do hexágono regular. A simetria de meia volta também é considerada como simetria central ou relativa à reflexão em relação ao centro: a cada P da figura corresponde um ponto P' colinear com P e O(centro) tal que OP=OP'
  2. Os triângulos equiláteros da figura II têm 3 eixos de simetria, mas o hexágono (não regular) não. Mas é fácil verificar que esse hexágono tem um centro de simetria - rotação de n.120º, com n inteiro. Claro que estas simetrias de rotação do hexágono II não pode ser considerada uma simetria central no sentido descrito antes para a figura I.

© geometrias, 3 de Janeiro de 2014, Criado com GeoGebra

Notas sobre a inversão (reflexão) que, não sendo isometria do plano, não é simetria de figura do plano:
Dada uma circunferência, por exemplo, haverá alguma inversão (reflexão relativa a uma circunferência) que seja simetria da circunferência? Sabemos que uma circunferência qualquer é imagem de si mesma por inversão relativa a qualquer das suas ortogonais. Mas não é isometria, logo não é uma simetria da circunferência. E qualquer circunferência é inversa de si mesma pela inversão relativamente a si mesma. Mas, mesmo neste caso, em que a restrição da inversão à circunferência de inversão inverte cada ponto em si mesmo, não estamos perante uma simetria já que a inversão não é uma isometria do plano.