Inversa da parábola $\;\;\;y=x^2$


Nesta entrada, começamos por tomar a circunferência $\;\;\;x^2 + y^2=2 \;\;\;$ para circunferência de inversão e a parábola de equação $\;\;\;\;y=x^2 \;\;\;\;$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Lembramos que, pela inversão $I(O, 1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ é $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.

© geometrias, 20 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra


As coordenadas dos pontos $P(x,y)$ da parábola (azul, na figura) verificam a condição $\;\;\;\; y=x^2 \;$. $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ y=x^2 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& \frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$\frac{y}{x^2+y^2} = \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 \Longleftrightarrow y(x^2+y^2)=x^2 \Longleftrightarrow x^2y - x^2+y^3=0 $$ Esta última é a equação da curva inversa da parábola que é mostrada na folha algébrica do geogebra. Para $(x,y)=(0,0)$, a aplicação daria valores indeterminados para as coordenadas do inverso de $O$. Considerando o plano inversivo, o inverso do centro de inversão é o ponto ideal $Z (\infty)$. O plano inversivo e o ponto ideal (convencional) estão tratados na entrada de 31 de Julho p.p.: " Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-) ".

Pode ter interesse ver outras situações diferentes daquela que é descrita no texto desta entrada. Se deslocar o círculo de inversão, ou a parábola, pode observar diferentes posições da circunferência de inversão e da parábola e respetiva curva inversa.