Inversas de hipérbole e de elipse: lemniscatas


Nesta entrada, começamos por tomar a circunferência $\;\;\;x^2 + y^2=2 \;\;\;$ para circunferência de inversão, a hipérbole de equação $\;\;\;\;x^2 - y^2 = 1 \;\;\;\;$ e a elipse de equação $\;\;\;\; 10x^2+y^2=10 \;\;\;$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Já sabemos que, pela inversão $I(O, 1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ é $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.

© geometrias, 17 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra


As coordenadas dos pontos $P(x,y)$ da elipse (verde, na figura) verificam a condição $\;\;\;\; 10x^2+y^2=10 \;$. $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ 10x^2+y^2=10 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& 10\times \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 10 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$ 10\times \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 10 \Longleftrightarrow 10x^2+y^2=10\left(x^2+y^2\right)^2 \Longleftrightarrow$$ $$\Longleftrightarrow \left(x^2+y^2\right)^2=x^2+\frac{1}{10}y^2 \Longleftrightarrow-100x^4-200x^2y^2 +100x^2-100y^2+10y^2=0 $$ Esta última é a equação da curva inversa da elipse que é mostrada na folha algébrica do geogebra.

Do mesmo modo, se determina a equação da inversa da hipérbole (a azul): $$\begin{matrix} &\;\;\;\; I(O,1)\;\;\;\;&\\ x^2-y^2=1 &\;\;\;\longmapsto \;\;\;& \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 - \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 1 \end{matrix}$$ e,para $(x,y)≠(0,0)\;$, $$ \left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)^2 - \left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)^2 = 1 \Longleftrightarrow \left(x^2+y^2\right)^2 = x^2-y^2 \Longleftrightarrow -x^4-2x^2y^2+x^2-y^4-y^2=0 $$ sendo esta última a expressão apresentada na folha algébrica do geogebra para definir a curva inversa da hipérbole. As curvas obtidas para inversas da elipse e da hipérbole dadas têm equações das famílias das lemniscatas
  1. elípticas: $\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\left(x^2+y^2\right)^2=b^2x^2+a^2y^2$
    • $\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{inversa da elipse}\;\;10x^2+y^2=10\;: \;\;\; \left(x^2+y^2\right)^2=x^2+\frac{1}{10}y^2$
  2. hiperbólicas: $ \;\;\;\;\;\;\left(x^2+y^2\right)^2 = b^2x^2-a^2y^2$
    • $\;\;\;\;\;\;\;\;\mbox{inversa da hipérbole}\;\; x^2-y^2=1 \;:\;\;\left(x^2+y^2\right)^2 = x^2-y^2 $

As lemniscatas estão entre as - espíricas de Perseus - curvas obtidas como secções do toro por planos paralelos ao seu eixo. Estas classificações constam do "Traîté des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches" de F. Gomes Teixeira (na Biblioteca da José Estêvão, claro!).

Pode ter interesse ver outras situações diferentes daquela que é descrita no texto desta entrada. Se deslocar o círculo de inversão, a hipérbole ou a elipse, pode observar diferentes posições da circunferência de inversão, da hipérbole e da elipse e as respetivas curvas inversas.