Inversa da hipérbole $\;\;\;\;y=\displaystyle\frac{1}{x}$


Tomamos a hipérbole de equação $\;\;\;\;y=\displaystyle\frac{1}{x} \;\;\;\;$ ou $\;\;\;\; \left\{\begin{matrix} x=t \\ \displaystyle y=\frac{1}{t} \end{matrix}\right.$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Como já vimos, pela inversão $I(O, 1)$, um ponto $P(x,y)$ é transformado noutro ponto $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.
No caso da hipérbole $\;\;\;\;y=\displaystyle \frac{1}{x}$, $$ P\left(x, \frac{1}{x}\right) \;\;\;\; \longmapsto \;\;\;\; P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+\frac{1}{x^2}}, \frac{\frac{1}{x}}{x^2+\frac{1}{x^2}}\right)$$ Parametricamente: $$ \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=\frac{1}{t} \end{matrix}\right. \;\;\; \longmapsto \;\;\;\; \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{t^2 +\frac{1}{t^2}}\times t \\ y=\frac{1} {t^2+\frac{1}{t^2}}\times \frac{1}{t} \end{matrix}\right. $$ Esta última é a equação da curva inversa da hipérbole $\;\;\;y=\displaystyle \frac{1}{x}\;\;$, que é mostrada na folha algébrica do geogebra.

© geometrias, 17 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Se deslocar a hipérbole, pode observar que diferentes hipérboles têm por inversas curvas com diferentes formas.