Coordenadas, equações e inversão (1. circunferências)


Consideremos um referencial ortonormado $xOy$ e uma circunferência de centro $O(0,0)$ e $raio =1$.
Seja o ponto $P(x,y)$ distinto de $O(0,0)$. Pela inversão $I(O,1)$, $P$ é transformado num ponto $P'(x',y')$ se se verificar que $\overrightarrow{OP} . \overrightarrow{OP'} = 1$, ou seja $P'$ está sobre a semirreta $\dot{O}P$ e $ \overline{OP'} = \displaystyle\frac{1}{\overline{OP}}$
Nestas condições
  1. $\angle PÔP'$ é nulo e $\overrightarrow{OP}. \overrightarrow{OP'} =\overline{OP}\times \overline{OP'} = \sqrt{x^2+y^2}\times\sqrt{x'^2 + y'^2} =1$
  2. $\overrightarrow{OP}=(x-0, y-0)=(x, y)$, $\overrightarrow{OP'}=(x', y')$ e $ \overrightarrow{OP'}=k.\overrightarrow{OP}$, sendo $k$ real não nulo
    ou $(x',y')=(kx, ky)$
  3. Assim: $\sqrt{x^2+y^2}\times\sqrt{(kx)^2 + (ky)^2} =1$ que é o mesmo que $k(x^2+y^2) = 1$ ou $$ k= \displaystyle \frac{1}{x^2+y^2}$$
  4. Concluindo: Para a inversão $I(O,1)$, o inverso de um ponto $P(x,y)$ distinto da origem é o ponto $$P'\left(\frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$$
Apoiados na construção que se segue, determinamos: (1) as coordenadas dos inversos de pontos dados pelas suas coordenadas, (2) equação da inversa de uma reta (que não passa por $O$, centro da inversão) dada por uma equação, (3) equação da inversa de uma circunferência (que não passa por $O$) dada pela sua equação.

Movendo o cursor verde $\;\fbox{ n }\;$ segue passo a passo as ilustrações dos resultados:
$\fbox{ n = 1}\;$: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão $- \;I(O,1) - $ de equação $x^2+y^2=1$ (em $xOy$)
$\fbox{ n = 2}\;$: Assinalam-se os pontos $A(\frac{3}{2}, 0)$, $B(0, 2)$ e $C(-2, -1)$ (e os seus inversos)
$\fbox{ n = 3}\;$: Apresenta-se a reta de equação $y=2x+1$ (e a sua inversa)
$\fbox{ n = 4}\;$: Apresenta-se a circunferência de equação $(x-0,5)^2+(y+0,4)^2=0,04$ (e a sua inversa)

© geometrias, 11 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Já vimos acima que a inversão $I(O,1)$, no plano cartesiano, fica bem definida por $$\left\{ \begin{matrix} x'=\frac{x}{x^2+y^2}\\ y'=\frac{y}{x^2+y^2} \end{matrix} \right.$$

Passe para $\fbox{ n = 2}\;$: $\;\;\;\;\;\;A=\left(\frac{3}{2}, 0\right) \longmapsto A'= \left(\frac{2}{3}, 0\right); \;\;\;\;\;\; B=(0, -2) \longmapsto B'=\left(0, -\frac{1}{2}\right); $ e
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\; C=(-2, -1) \longmapsto C'= \displaystyle\left(\frac{-2}{5}, \frac{-1}{5} \right)$

Passe para $\fbox{ n = 3}\;$: A equação da inversa da reta (circunferência) $y=2x+1$, que não passa por $(0,0)$ (\;\;\;$x^2+y^2\neq 0$), será $$\frac{y}{x^2+y^2}= 2.\frac{x}{x^2+y^2} +1 \Longleftrightarrow y= 2x + x^2+y^2 \Longleftrightarrow x^2+2x+y^2-y=0 $$ ou $$(x+1)^2 +\left(y-\frac{1}{2}\right)^2 =\frac{5}{4}$$ circunferência que passa por $O$ e corta $(O, 1)$ onde a reta $y=2x+1$ a corta.

Passe para $\fbox{ n = 4}\;$: A equação da inversa da circunferência de equação $(x-0,5)^2+(y+0,4)^2=0,04$, já que não passa por $(0,0)$ ou para os pontos da qual se verifica $\;\;x^2+y^2 \neq 0$, será $$\left(\frac{x}{x^2+y^2} - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{x^2+y^2} - \frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{100} \Longleftrightarrow \ldots \Longleftrightarrow \left(x-\frac{135}{100} \right)^2 +\left(y+\frac{108}{100}\right)^2=\frac{29}{100} $$


A folha algébrica do GeoGebra permite verificar as equações... obtidas