Um triângulo qualquer pode ser invertido num triângulo retângulo

Seja $ABC$ um triângulo qualquer. Qual é o lugar geométrico dos centros de uma inversão que transforme o triângulo $ABC$ num triângulo retângulo?
Na nossa construção, procurámos o lugar geométrico dos centros das inversões que transformam o triângulo $ABC$ num triângulo $A'B'C'$ retângulo em $A'$, isto é, tal que $B'C'$ é o diâmetro da circunferência circunscrita a $A'B'C'$.

Par seguir os passos da construção, desloque o cursor $\;\fbox{ n }\;$

© geometrias, 18 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Passos:
  1. São dados os três vértices e os três lados do triângulo $ABC$ .
  2. Considerando a construção que permite inverter um quadrilátero qualquer para um retângulo publicada na última entrada, o lugar geométrico dos centros de inversão que transformam um triângulo qualquer num triângulo retângulo será a circunferência $(O_a)$ (laranja) ortogonal à circunferência $(O)$ e a passar por $B$ e $C$.
  3. Um ponto $K$ qualquer de $(O_a)$ é o centro da circunferência de inversão (a vermelho) com raio $r$ qualquer.
  4. A inversa de $(O)$, por $I(K, r^2)$, é uma circunferência que terá o seu centro sobre $OK$ e que interseta $\;KA, KB, X KC\; $ em $\;A', B', C'\;$ inversos respetivamente de $\;A, B, C$
  5. $A'B'C'\;$ é um triângulo retângulo em $A'$