Caso particular do problema de Apolónio

Determinar uma circunferência tangente a três dadas circunferências concorrentes mas não co-axiais.
(usando a Inversão)

Pode seguir os passos da construção, descrita a seguir, clicando no botão de navegação (>>) ao fundo da janela de visualização. (que não funciona em html5, como se vê)

Na construção partimos das circunferências (Ci), de centro Ci, que se intersetam num só ponto O. Se tormarmos uma circunferência (O) de raio qualquer para circunferência de inversão, como as circunferências (Ci) passam pelo centro de inversão O, as suas inversas (Ci)' são retas, precisamente as retas definidas pelas interseções de cada (Ci) com (O). A cirucnferência (I) inscrita no trilátero (C1)', (C2)', (Ci)' é tangente a essas retas e, por isso, usando a mesma inversão de centro O, obtemos uma corrrespondente (I)', circunferência que é tangente às três (Ci).

Claro que há mais 3 soluções, já que para além da inscrita (I), há 3 ex-inscritas tangentes às (Ci)' que se invertem em 3 circunferências cada uma delas tangente às 3 (Ci) dadas.


© geometrias, 2 de Novembro 2013, Criado com GeoGebra