Levando em conta as duas últimas entradas, vamos determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.
Na nossa construção, partimos de duas circunferências $(O)$ e $(P)$ tangentes em $T$. Tomamos o eixo radical (a negro) das duas circunferências que, neste caso, é a perpendicular a $OP$ tirada por $T$ que é a única reta tangente às duas circunferências no ponto $T$. E sobre o eixo radical, tomamos um ponto $M$ qualquer. E determinamos, como feito na entrada de 7 de Outubro as circunferências que passam por $M$ e são tangentes às circunferências $(O)$ e $(P)$ dadas.
Como se vê na figura abaixo, essas duas circunferências, determinadas com recurso à inversão $I(T, TM^2)$, em comum têm dois pontos, para além de $M$, $M'$, variando este quando $M$ se desloca sobre o eixo radical.
Vamos determinar o lugar geométrico dos pontos $M'$ quando $M$ percorre o eixo radical.
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As duas circunferências que passam por $M$ e são tangentes às circunferências $(O)$ e $(P)$: uma delas (verde) é tangente a $(O)$ em $A$ e tangente a $P$ em $A'$; a outra (azul topázio) é tangente a $(O)$ em $B$ e a $(P)$ em $B'$. Referindo-nos aos resultados da entrada de 7 de Outubro p.p. sobre Inversão e Homotetia, sabemos que $AA'$ e $BB'$ passam pelo centro comum de homotetias várias definidas por pares de circunferências homotéticas tangentes duas a duas: uma (direta) que transforma $(O)$ em $(P)$ e outras, as que transformam $(P)$ na circunferência verde (tangente), ou $(O)$ na circunferência azul topázio (tangente)...
Como vimos então $A$ e $A'$ são tais que $$HA \times HA'= HT^2$$ Pela mesma razão, sendo $M'$ o segundo ponto de interseção de $HM$ com a circunferência verde (ou com a azul topázio), $M$ e $M'$ são tais que $$HM \times HM' = HT^2$$ Assim, uma circunferência que passe por $M$ e $M'$ e seja tangente a uma das $(O)$ ou $(P)$ é tangente à outra. $M'$ é o segundo ponto de interseção das circunferências que passam por $M$ e são tangentes a $(O)$ e a $(P)$.
E de $$HM \times HM' = HT^2$$ também se retira que, pela inversão $I(H, HT^2)$, aos pontos $M$ do eixo radical correspondem os pontos $M'$, ou seja, os pontos $M'$ encontram-se sobre a circunferência inversa do eixo radical das circunferências $(O)$ e $(P)$, que tem como diâmetro $TH$. $\hspace{1cm} \square$
Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992