Na entrada Conservação dos ângulos por inversão (2) ilustrámos e demonstrámos o seguinte resultado:
A inversa por $I(O,r^2)$ de uma circunferência que não passa por $O$ é uma circunferência homotética da original. O ângulo que a tangente num ponto qualquer $P$ desta circunferência faz com $OP$ é congruente com o ângulo que $OP$ faz com a tangente à inversa em $P'$ .
Dito de outro modo, as tangente em $P$ e em $P'$ são imagens uma da outra por reflexão de eixo perpendicular a $OP$ no ponto médio de $PP'$

No caso da construção que apresentamos a seguir, retomamos esse resultado partindo de duas circunferências tangentes num ponto $T$. Temos uma homotetia de centro $H$ que transforma a circunferência de centro $O$ na circunferência de centro $P$ e a circunferência com centro em $H$ e raio $HT$ define uma inversão que faz corresponder à circunferência de centro $P$ a circunferência de centro $O$.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

A reta, tirada por H, que corta cada uma das circunferências em dois pontos, define pares de pontos $(D, A)$ e $(C, B)$ corrrespondentes pela homotetia e pares de pontos $(C, A)$ e $(D, B)$ correspondentes pela inversão $I(H, HT^2)$.
$$\frac{HA}{HD} = \frac{HB}{HC} = \; \mbox{razão da homotetia de centro $H$ da circunferência $(P)$ para $O$}$$ $$HA \times HC = HB \times HD = HT^2 = \;\mbox{potência da inversão}$$ para além de $$HC \times HD = HR^2 = \; \mbox{potência de $H$ relativamente à circunferência de centro em $P$}$$ A razão de homotetia que transforma a circunferêcnia de centro $P$ na circunferência de centro $O$ é afinal a razão das potências de inversão e do ponto H relativamente à circunferência de centro $P$, já que $$HC=\frac{HT^2}{HA} \wedge HC=\frac{HR^2}{HD}$$ e, em consequência, $$\frac{HT^2}{HA}=\frac{HR^2}{HD}$$ ou seja $$ \frac{HA}{HD}= \frac{HT^2}{HR^2} \hspace{1cm}\square$$
Os triângulos isósceles $BOA$ e $CPD$ são semelhantes, sendo $OB \parallel PC$ e $OA \parallel PD$.
$A$ e $C$ são inversos e correspondentes por reflexão relativamente á mediatriz de $AC$. Também $B$ e $D$ são inversos e correspondentes por reflexão relativamente á mediatriz de $BD$

Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992