Na entrada anterior, referimos um Teorema de Pappus relativo à chamada cadeia de Pappus, sequência de circunferências tangentes a duas circunferências dadas e cada uma delas tangente à que a precede e à que a sucede.
Na nossa construção, partimos de 3 pontos colineares $X, Y, Z$, e das circunferências de diâmetros $XZ$, $XY$ e $YZ$. A circunferência de centro $O_0$ é a circunferência de diâmetro $YZ$, seguida das circunferências de centros $O_1, O_2, O_3, \ldots O_n \ldots \; \;$ da cadeia.
O enunciado do Teorema de Pappus pode enunciar-se assim:

Sejam $X$, $Y$ e $Z$ três pontos colineares tais que $Y$ está entre $X$ e $Z$ e sejam as circunferências (na figura a violeta, amarelo torrado e azul topázio) de diâmetros $XZ$, $XY$, $YZ$. Os círculos $c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n \ldots \;\;$ todos tangentes às semicircunferências violeta e amarelo torrado, com $c_1$ tangente ainda à semicircunferência azul topázio $c_0$ e à circunferência $c_2$; $c_3$ tangente a $c_2$ e $c_4$, etc, ... $c_n$ tangente a $c_{n-1}$ e a $c_{n+1}$. Se designarmos por $r_n$ o raio de $c_n$ e por $h_n$ a distância de $O_n$ a $XZ$ , então
$$h_n=2nr_n$$

Na figura destacámos a negro $c_2$ para ilustrar este resultado para o qual $h_2= 2\times 2 \times r_2$.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

A demonstração, com recurso à inversão, é feita com toda a generalidade.
  1. Consideremos a inversão relativa à circunferência de centro $X$ e raio $t_n$ em que $t_n$ é o comprimento da tangente a $c_n$ tirada por $X$ (no caso da nossa ilustração: circunferência de centro $X$ e raio $t_2$ em que $t_2 =XT_2$ sendo $T_2$ o ponto de tangência da tangente a $c_2$ tirada por $X$ ).
  2. Fazemos isso, porque $XT_n$ é perpendicular a $O_nT_n$, sendo $XT_n$ tangente a $c_n$ e $O_nT_n$ tangente à circunferência de inversão e, por isso, $c_n$ ser ortogonal à circunferência de inversão. As circunferências ortogonais à circunferência de inversão são inversas de si mesmas.
    Pela inversão $I(X, t_n ^2)$ a inversa de $c_n$ é $c_n$.
  3. As inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ são retas, já que elas passam por $X$, centro da inversão. Estas retas ficam definida pelos pontos de interseção dessas circunferências com a circunferência de inversão.
  4. A inversa da circunferência de centro $O_0$ (diâmetro $YZ$) é uma circunferência tangente às duas retas, determinadas como inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ de centro $K_n$ colinear com $X$, $Y$, $Z$ e $O_0$(no caso da nossa ilustração, trata-se da circunferência de centro $K_2$ e raio=$O_2T_2$). Tanto $O_n$ como $K_n$ estão sobre perpendicular equidistante das retas correspondentes, pela inversão, às circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ e por isso os seus raios são iguais a $O_nT_n$.
  5. O raciocínio feito para a inversa de $c_0$ serve para as circunferências $c_1$, $c_2$, $c_{n-1}$ que são tangentes às duas circunferências originais, tendo inversas $c'_i, \;\; 0\leq i\leq n$ tangentes a essas retas obtidas como inversas das originais. Todas essas inversas têm o mesmo raio $O_nT_n$.
  6. Para além de serem tangentes a essas retas inversas cada uma delas $c'_i$ deve ser tangente a $c_{i-1}$ e a $c_{i+1}$. No caso da nossa ilustração $c'_1$ é tangente a $c'_0$ e a $c'_2=c_2$ e, por isso, $h_2$ ou $O_2K_2$ é igual à soma de um raio de $c'_0$ + 2 raios de $c'_1$ + 1 raio de $c'_2$, no total $4r_2$
  7. Para $d_n$, teremos 1 $r_n$ para $c'0$ e outro para $c'_n = c_n$ para além de $2(n-1) r_n$ correspondentes aos diâmetros de $n-1$ circunferências iguais a $c_n$, $c'_i, \; \; 1\leq i\leq n-1$: $2+2(n-1).r_n= 2nr_n=d_n \hspace{1cm} \square$

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992