Antes da demonstração do teorema de Pappus, sobre uma propriedade da cadeia de Pappus (arbelos, faca de sapateiro), publicamos uma construção da cadeia de Pappus, recorrendo à inversão, proposta por Mariana Sacchetti.
Na nossa construção, partimos de um segmento $XZ$, a ser percorrido por um ponto $Y$, circunferências de diâmetros $XZ$, $XY$ e $XZ$. Depois determinamos, com a ajuda de uma inversão, as circunferências da cadeia, tangentes às referidas de diâmetros $XZ$ e $XY$ e cada uma delas tangente ainda a duas da cadeia.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Para construir a cadeia, Mariana propôe uma inversão relativa a uma circunferência com centro em $X$ e raio $XZ$.
Por essa inversão, $I(X,XZ^2)$, as inversas das circunferências de diâmetros $XZ$ e $XY$ que passam pelo centro $X$ de inversão, são retas. A inversa da circunferência de diâmetro $XZ$ tem o ponto $Z$ sobre a circunferência de inversão e, por isso, passa por $Z$.
Assim, as circunferências da cadeia têm inversas tangentes às inversas das cirucnferências de partida. Como cada uma delas temm ainda de ser tangente a duas outras da cadeira, as suas inveersas empilham-se entre as retas inversas das circunferências de partida, cada uma tangente a essas retas e tangentes às vizinhas, como bem ilustra a construção.
As circunferências da cadeia são obtidas por inversão, $I(X, XZ^2)$, aplicada às circunferências da pilha sequencial entre retas.