Numa entrada de 21 de Agosto p. p., provamos que

Se uma circunferência de centro $O$ e dois pontos $A, B$ inversos relativamente a ela, forem invertidos por uma outra inversão de centro $P$ incidente nessa circunferência, obtemos dois pontos $A', B'$ e uma reta que é eixo da reflexão que faz corresponder a $A'$ o ponto $B'$.

Nesta entrada ilustramos um resultado, que não é mais que uma consequência desse, a saber:

Duas circunferências inversas uma da outra por $I(O, r^2)$ são transformadas em circunferências geometricamente iguais por $I(P, k)$ para $P$ sobre a circunferência da inversão de centro $O$.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar os centros das circunferências e o ponto A sobre a circunferência azul.


O ponto $A$, qualquer da circunferência azul, é inverso de $B$ pela inversão de centro $O$. Pela inversão de centro $P$, qualquer ponto da circunferência centrada em $O$, a $A$ corresponde $A'$ e a $B$ corresponde $B'$. Pelo resultado referido na abertura desta entrada, $A'$ e $B'$ são corrrespondentes pela reflexão de eixo vermelho. Fica assim provado que são geometricamente iguais as circunferências percorridas por $A'$ e $B'$ quando $A$ percorre a circunferência azul original. $\hspace{.5cm} \square$
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992