Já apresentámos vários exemplos de aplicação da inversão para resolver problemas geométricos. Para introduzir o processo de resolução por inversão, Howard Eves apresenta um exemplo muito interessante e educativo. Aqui deixamos o enunciado, explicação do processo passo a passo e ilustração.

De duas circunferências dadas que se intersetam em $A$ e $B$, tomam-se as retas dos diâmetros que têm $B$ como extremo comum e que as cortam em $C$ e $D$.
Prova-se que a reta $AB$ contém o diâmetro da circunferência que passa por $B, C$ e $D$.

1. A figura do problema envolve três retas e três circunferências todas passando por um ponto $B$ comum: retas $AB$, $BC$ e $BD$ e circunferências $ABC$, $ABD$ e $BCD$.
   Esta figura do problema fica ilustrada completamente na janela de visualização inicial da construção dinâmica abaixo.
   
   
   
   Clique sobre os botões ao fundo da construção para seguir os passos da construção.
   
   
2. A própria figura sugere que uma inversão de centro em $B$ transforma essa figura numa outra mais simples.
   Por $I(B, k)$ as circunferências que passam pelo centro de inversão transformam-se em retas e cada uma das retas que passam pelo centro da inversão transforma-se em si mesma.
3. A inversão preserva a incidência. Por $I(B, k)$
   • como $B$ o centro da inversão e é um ponto das 3 retas e das 3 circunferências da figura, $B'=B$ será um ponto comum a todas as retas correspondentes das retas e circunferências da figura;
   • por $A$ ser um ponto das circunferências $ABC$ e $ABD$ e da reta $AB$, $A'$ será um ponto das retas $A'C'=A'BC'$, $A'D'=A'BD'$ e $A'B$;
   • Por $C$ ser ponto comum às circunferências $ABC$ e $BCD$ e à reta $BC$, $C'$ será ponto das retas $A'C'$, $BC'$ e $C'D'$;
   • E, por $D$ ser um ponto comum às circunferências $ABD$ e $BCD$ e à reta $BD$, $D'$ será ponto comum às retas $A'D'$, $C'D'$ e $BD'$.
   Por $I(B, k)$ o conjunto das três circunferências é transformado num triângulo de vértices $A',C', D'$ e lados sobre as retas $A'D'$ (correspondente de $ABD$), $A'C'$ (correspondente de $ABC$) e $C'D'$ (correspondente de $CBD$.


4. A inversão preserva a ortogonalidade. Por $I(B, k)$
   • como $BC$ contém um diâmetro da circunferência $ABD$, $BC$ e $ABD$ são ortogonais e, em consequência $BC'$ é perpendicular a $A'D$ (ou seja, $BC'$ contém a altura de $A'C'D'$ relativa ao vértice $C'$);
   • e, por $DB$ conter um diâmetro de $ABC$, $DB$ é ortogonal a $ABC$ e, em consequência, $D'B'$ é perpendicular a $A'C'$ (ou seja, $D'B$ contém a altura de $A'C'D'$ tirada por $D'$)
   • $B$ é pois o ponto de interseção de duas alturas de $A'C'D'$, ou seja $B$ é o ortocentro de $A'C'D'$

Concluindo, a reta $AB=A'B$ é a altura de $A'C'D'$ tirada de $A'$ para $C'D'$ que é o mesmo que dizer que $A'B'$ é ortogonal a $C'D'$.
Os correspondentes, por $I(B, k)$, de $A'B'$ e $C'D'$ são ortogonais, isto é a reta $AB$ é ortogonal à circunferência $BCD$ que é o mesmo que dizer que $AB$ contém um diâmetro $BCD$ $\hspace{.5cm} \square$

O nosso problema tansformou-se em nada mais além da inversão relativamente ao ortocentro como centro da inversão e ao facto bem conhecido de que as alturas de um triângulo concorrem nesse ponto.

---

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992