Nesta entrada, ilustramos e demonstramos o resultado:
Três circunferências quaisquer podem sermpre ser invertidas em circunferências de centros colineares.
Na nossa construção temos três circunferências de centros $A$, $B$ e $C$. Procuraremos definir uma inversão que transforme essas circunferências em circunferências de centros alinhados.
Pode deslocar centros $A, B, C$ e raios de circunferências, ou $O$ sobre a circunferência em que incide.
Demonstremos.
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Começamos por determinar o centro radical $R$ das circunferências de centros $A$, $B$ e $C$ originais.
- Basta tirar por $R$ a tangente a uma das circunferências dadas e a circunferência centrada em $R$ passando pelo ponto de tangência é ortogonal às três circunferências dadas (quando as intersete).
- Sobre essa circunferência tracejada a azul tomamos um ponto $O$ para centro de inversão. Por $I(O, k)$, a circunferência a azul é transformada na reta tracejada a azul claro.
- Como a circunferência azul é ortogonal às três dadas originalmente a reta que lhe corresponde pela inversão é ortogonal às inversas das 3 circunferências dadas.
- As inversas das três circunferências dadas são circunferências se o ponto $O$ não tiver sido tomado sobre algma delas e reta tracejada a azul é ortogonal a essas três inversas, isto é, passa pelos centros das inversas. $AB$. $\hspace{.5cm} \square$
Th. Caronnet, Éxércices de Géométrie Librairie Vuibert. Paris: 1946
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992