Nesta entrada, ilustramos e demonstramos o resultado:
Duas circunferências não concorrentes podem sempre ser invertidas num par de circunferências concêntricas.

  1. Começamos pelo caso das circunferências não concorrentes que são concêntricas.
    No caso em que as circunferências são concêntricas não concorrentes bastará tomar para centro de inversão o centro das circunferências.
    Como nenhuma das circunferências passa por $O$ as suas inversas são circunferências que não passam por $O$.
    As inversas têm centro $O$, já que cada inversa por $I(O, r^2)$ é homotética da original com centro em $O$ que é o centro da homotetia, invariante, e cuja razão é a razão entre os quadrados dos raios das circunferências de inversão e da circunferência a inverter.
    Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
    Pode variar o centro e os raios das circunferências.
  2. Vejammos agora o caso das circunferências não concêntricas e não concorrentes.
    Na nossa construção temos duas circunferências de centros $A$ e $B$. Procuraremos definir uma inversão que transforme essas circunferências em circunferências concêntricas.
    Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

    Pode deslocar centros $A, B, P$ e raios de circunferências

    Demonstremos.

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992