Nesta entrada, ilustramos e demonstramos o resultado:
Duas circunferências não concorrentes podem sempre ser invertidas num par de circunferências concêntricas.

1. Começamos pelo caso das circunferências não concorrentes que são concêntricas.

   No caso em que as circunferências são concêntricas não concorrentes bastará tomar para centro de inversão o centro das circunferências. Como nenhuma das circunferências passa por $O$ as suas inversas são circunferências que não passam por $O$. As inversas têm centro $O$, já que cada inversa por $I(O, r^2)$ é homotética da original com centro em $O$ que é o centro da homotetia, invariante, e cuja razão é a razão entre os quadrados dos raios das circunferências de inversão e da circunferência a inverter.

   Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Pode variar o centro e os raios das circunferências.

2. Vejammos agora o caso das circunferências não concêntricas e não concorrentes.
   Na nossa construção temos duas circunferências de centros $A$ e $B$. Procuraremos definir uma inversão que transforme essas circunferências em circunferências concêntricas.
   Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
   Pode deslocar centros $A, B, P$ e raios de circunferências
   
   Demonstremos.
   
   • Começamos por determinar o eixo radical das circunferências de centros $A$ e $B$ originais.
   • Tomamos o ponto $H$ de interseção do eixo radical com a reta dos centros $AB$ e as tangentes a cada uma das circunferências dadas, tiradas por $K$. Sabemos que os segmentos das tangentes entre $K$ e cada ponto de tangência às circunferências têm comprimentos iguais (o eixo radical é o lugar geométrico dos pontos de igual potência - $KT_A ^2 =KT_B ^2$ - relativamente às duas circunferências). E traçamos a circunferência azul, de centro em $K$, que passa pelos pontos de tangência das tangentes tiradas por $K$ que é. obviamente, ortogonal às duas circunferências dadas originalmente.
   • Assinalamos os pontos - $N$ e $O$ - de interseção da circunferência azul centrada em $K$ com a reta dos centros $AB$. E tomamos qualquer um destes pontos para centro de uma inversão. No caso da nossa construção, escolhemos $O$ e nele centrada a circunferência tracejada a verde como circunferência de inversão $I(O,r^2)$, sendo $r$ um número qualquer positivo.
   • $O$ é colinear com $A$, $B$, $K$. Como as circunferências de centros $A$ e $B$ não passam por $O$ as suas correspondentes por $I(O, r^2)$ são circunferências com centros sobre a reta $AB$ que passa por $O$.
   • Como a circunferência azul de centro $K$ passa por $O$ a sua correspondente por $I(O, r^2)$ é uma reta que passa pelos pontos de interseção da circunferência azul com a circunferência de inversão. E, como a circunferência azul é ortogonal às duas circunferências dadas de centros em $A$ e em $B$, a sua inversa é ortogonal às circunferências correspondentes das originais por $I(O, r^2)$. É o mesmo que dizer que a reta imagem da circunferência azul contém o diâmetro de uma e o diâmetro de outra das circunferências inversas das dadas.
   • O centro dessas duas inversas está na interseção das retas imagens das circunferências centradas em pontos $P$ do eixo radical que passem por $O$ (e logo por $N$) e na reta dos centros $AB$. $\hspace{.5cm} \square$

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992