Nesta entrada, relembramos algumas noções já estudadas que são necessárias para estudar mais uma propriedade da inversão que demonstraremos. A figura abaixo serve para seguir a "ajuda de memória" sobre razões duplas de pontos concíclicos (incluindo os colineares).
Nestes estudos, podemos considerar as retas como circunferências, embora as tratemos sempre separadamente (Eves apresenta mesmo como convenção chamar "circle" tanto a uma straight line como a um circle e escreve que há autores que, em vez de "circle", usam a palavra stircle, para os portugueses retírculo(?:-). Nessa convenção H. Eves também fala de duas retas serem tangentes quando são paralelas ou coincidentes. Considerando esta convenção, podemos dizer que uma inversão é uma transformação circular (ou de Möbius) do plano inversivo, por tranformar círculos em círculos.
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Pode deslocar os pontos $A, B, C, D, V$ sobre a circunferência vermelha, como pode deslocar a reta $r$ usando o ponto verde à esquerda, para além do centro $O$ e o raio da circunferência vermelha
  1. Chamamos razão simples de 3 pontos colineares $A', B', C'$ a uma razão de segmentos orientados, a saber $$\frac{\overrightarrow{A'C'}}{\overrightarrow{A'B'}}$$ que designamos por $(A'B'C')$, negativa se $C'$ está entre $A'$ e $B'$ (segir um e preceder o outro), positiva em caso contrário (seguir os dois ou preceder os dois).
  2. Chamamos razão dupla de 4 pontos colineares $A', B', C', D'$ à razão das razões simples $$\frac{(A'B'C')}{(A'B'D')} = \frac{\displaystyle\frac{\overrightarrow{A'B'}}{\overrightarrow{B'C'}}}{\displaystyle\frac{\overrightarrow{A'D'}}{\overrightarrow{B'D'}}}$$ que designamos por $(A'B', CD)$ ou $(A',B'; C',D')$ negativa quando $A',B'$ e $C',D'$ se separam mutuamente e positiva em caso contrário.
  3. A razão dupla de um feixe de 4 retas $(a,b; c, d)$ de centro $V$ pode ser definida: $$ (a, b; c, d) = \frac{\displaystyle\frac{sin(\angle aVc)}{sin(\angle bVc)}}{\displaystyle\frac{sin(\angle aVd)} {sin(\angle bVd)}}$$ considerando ângulos orientados ($\angle aVc= - \angle cVa\;\;$ e $\;\;sin(\angle aVc)= - sin (\angle cVa)$),
    ou na secção do feixe, por uma qualquer reta $r$, como $(A', B'; C', D')$ em que $a=VA', b=VB', c=VC', d=VD'$, já que $A'C'= VA\times sin(\angle AVC), ...$ e $$ (A',B'; C', D') = \frac{\displaystyle\frac{A'C'}{C'B'}}{\displaystyle\frac{A'D'}{D'B'}} = \frac{\displaystyle\frac{VA'\times sin(\angle A'VC')}{VB' \times sin (\angle C'VB')}}{\displaystyle\frac{VA'\times sin(\angle A'VD')}{VB \times sin (\angle D'VB')}}= \frac{\displaystyle\frac{sin(\angle A'VC')}{ sin (\angle C'VB')}}{\displaystyle\frac{ sin(\angle A'VD')}{sin (\angle D'VB')}}= \frac{\displaystyle\frac{sin(\angle \hat{a,c})}{ sin (\angle \hat{c,b})}}{\displaystyle\frac{ sin(\angle \hat{a,d})}{sin (\angle \hat{d,b})}}= (a, b; c, d)$$ Esta razão dupla de um feixe centrado em $V$, também aparece naturalmente designada por $V(A', B'; C', D')$
  4. No caso dos quatro pontos $A, B, C, D$ incidirem numa mesma circunferência, podemos considerar as cordas $AC, CB, BD, AD$, já que, para exemplo, $[AOC] \ldots$ é um triângulo isóscceles de lados $AO=CO =r$ e base $AC= 2 \times r\times sin \left(\displaystyle\frac{\angle (A\hat{O}C)}{2}\right)$ e, como $\angle (A\hat{V}C)= \displaystyle\frac{\angle (A\hat{O}C)}{2} \ldots$, $$AC=2 \times r\times sin(\angle AVC)$$ e do mesmo modo, $$BC=2\times r \times sin(\angle BVC) \;, \;\;\; BD=2\times r \times sin(\angle BVD)\;, \;\;\; AD=2\times r \times sin(\angle AVD)$$ pelo que, com estas cordas, $$\frac{\displaystyle\frac{AC}{BC}}{\displaystyle\frac{AD}{BD}}= \frac{\displaystyle\frac{sin(\angle (AVC))}{sin(\angle(BVC))}}{\displaystyle\frac{sin(\angle(AVD))}{sin(\angle(BVD))}}=V(A, B'; C', D')$$ Sendo $A, B, C, D$ pontos concíclicos e $AB, AC, BD, AD$ cordas da circunferência, a razão dupla fica definida $$(A, B; C, D)= \frac{\displaystyle\frac{AC}{BC}}{\displaystyle\frac{AD}{BD}}$$ tomando a cautela do costume: negativa (precedida do sinal -) quando $(A,B)$ e $(C,D)$ se separam mutuamente ou positiva (+) em caso contrário.
Com esta ajuda e os resultados das entradas anteriores, na próxima entrada demonstraremos o seguinte:
A razão dupla de 4 pontos distintos sobre uma circunferência é preservada por uma inversão cujo centro seja distinto de cada um desses 4 pontos
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992