Nesta entrada, continuamos a ilustrar e demonstrar o resultado:
A razão dupla de quatro pontos concíclicos é preservada por inversão cujo centro é distinto de cada um desses quatro pontos

Uma reta que passa pelo centro $O$ de inversão, na inversão $I(O, r^2)$, corresponde a si própria.
No caso da nossa construção tomamos os pontos $A, B, C, D$ sobre uma reta $a$ que passa por $O$ e os seus correspondentes $A', B', C', D'$, por $I(O, r^2)$, sobre $a'=a$.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Pode deslocar a reta usando o seu ponto a verde e sobre ela os pontos $A, B, C, D$. Também pode variar o centro e o raio da circunferência de inversão

Demonstremos.
Como já demonstrámos antes $$A'C' = CA \displaystyle \frac{r^2}{OA\times OC} \hspace{1cm} B'C'= CB\displaystyle\frac{r^2}{OB \times OC} \hspace{1cm} A'D' = DA \displaystyle \frac{r^2}{OA\times OD} \hspace{1cm} B'D'= DB \displaystyle\frac{r^2}{OB \times OD}$$ e $$\frac{A'C'}{B'C'} =\frac{CA \displaystyle \frac{r^2}{OA\times OC}}{ CB \displaystyle\frac{r^2}{OB \times OC}} =\frac{CA}{CB} \times \frac{OB \times OC}{OA\times OC}=\frac{CA}{CB}\times \frac{OB}{OA}$$ Do mesmo modo, $$\frac{A'D'}{B'D'}=\frac{DA}{DB}\times \frac{OB}{OA}$$ E, finalmente, $$(A', B'; C', D') =\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{A'C'}{B'C'}}{\displaystyle\frac{A'D'}{B'D'}}= \frac{\displaystyle\frac{CA}{CB}\times \displaystyle\frac{OB}{OA}}{\displaystyle\frac{DA}{DB}\times \displaystyle\frac{OB}{OA}}=\frac{\displaystyle\frac{CA}{CB}}{\displaystyle\frac{DA}{DB}}= (A, B,; C, D)$$
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992