Nesta entrada, continuamos a ilustrar e demonstrar o resultado:
A razão dupla de quatro pontos concíclicos é preservada por inversão cujo centro é distinto de cada um desses quatro pontos

Uma circunferência que não passa pelo centro $O$ de inversão tem como correspondente na inversão $I(O, r^2)$ uma circunferência que não passa por $O$. Na anterior entrada, demonstrámos que a razão dupla de 4 pontos $A, B, C, D$ sobre uma dessas circunferências é igual à razão dupla dos correspondentes $A', B', C', D'$ sobre a circunferência inversa.
Uma circunferência, que passa pelo centro $O$ de inversão, tem como correspondente por $I(O, r^2)$ uma reta que não passa por $O$. E a inversa de uma reta, que não passa por $O$, é uma circunferência que passa por $O$.
No caso da nossa construção tomamos os pontos $A, B, C, D$ sobre uma reta $a$ (colineares) e os seus correspondentes $A', B', C', D'$ sobre a circunferência correspondentes por $I(O, r^2)$ (concíclicos).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Pode deslocar a reta usando os seus pontos a verde e sobre ela os pontos $A, B, C, D$, bem como o centro e o raio da circunferência de inversão

Demonstremos.
Nesta construção, por serem colineares $\{A, A', O\}$, $\{B, B', O\}$, $\{C, C', O\}$, $\{D, D', O\}$, $O$ é o centro de um feixe do qual $\{A, B, C, D\}$ é uma secção do feixe por $a$ ( pontual de base $a$). Esta é a figura usada na penúltima entrada para mostrar que a razão dupla de um feixe de 4 retas, no caso $(OA', OB'; OC', OD')$ centrado num ponto de uma circunferência, no caso $O$, é igual à razão dupla dos quatro pontos colineares $(A, B; C, D)$, obtidos por secção do feixe por uma reta $a$, e é também igual ao valor da expressão $\displaystyle \frac{\overline{A'C'} \times \overline{B'D'}}{\overline{B'C'}\times \overline{A'D'}}$, em que $\overline{A'C'},\; \overline{B'D'}, \;\overline{B'C'}, \; \overline{A'D'}$ são cordas, precedida do sinal (-) caso $A, B$ e $C, D$ se separem mutuamente.$\hspace{1cm} \square$
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992