Nesta entrada, ilustramos e demonstramos o resultado:
A razão dupla de quatro pontos concíclicos é preservada por inversão cujo centro é distinto de cada um desses quatro pontos

Lembramos que uma inversão transforma círculos em círculos: circunferências em circunferências, circunferências em retas, retas em retas, .. Começamos por uma inversão $I(O, r^2)$ e por quatro pontos $A, B, C, D$ de uma circunferência que não passa por $O$. As imagens $A', B', C', D'$ por $I(O, r^2)$ estarão sobre outra circunferência inversa da primeira.
Na nossa construção temos cálculos efetuados sobre comprimentos de segmentos- Na situação que é apresentada o par $A,B$ é separado por $C,D$ e, por isso, a razão dupla seria negativa. Chamamos a atenção para a cautela a ter com os sinais e para o fato de nas construções de ilustração calcularmos o valor absoluto das razões.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar $A, B, C, D$ bem como os centros e raios das circunferências vermelha e azul vivo
Demonstremos.
Pelo resultado da entrada anterior, como neste caso os pontos $A,B,C,D$ estão sobre uma circunferência e os pontos $A', B', C', D'$ estão sobre outra, podemos escrever as razões duplas em função das cordas. Assim $$(A, B; C, D)= \frac{AC \times BD}{BC \times AD}$$ $$(A', B'; C', D')= \frac{A'C' \times B'D'}{B'C' \times A'D'}$$ sabendo que precedidas do sinal (-) quando cada par de pontos é separado pelo outro.
Pelo resultado da penúltima entrada, podemos escrever que
$\hspace{5cm}(A', B'; C', D')=\displaystyle \frac{A'C' \times B'D'}{B'C' \times A'D'}=$

$\hspace{5cm}=\displaystyle\frac{AC\displaystyle\frac{r^2}{OA\times OC} \times BD \displaystyle\frac{r^2}{OB\times OD}}{BC\displaystyle\frac{r^2}{OB\times OC} \times AD\displaystyle\frac{r^2}{OA\times OD}}= \frac{AC \times BD \times OB\times OC \times OA\times OD \times r^4}{BC \times AD \times OA\times OC \times OB\times OD \times r^4}= $

$\hspace{5cm}=\displaystyle\frac{AC \times BD}{BC \times AD} = (A, B; C, D) \hspace{5cm} \square$

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992