Os resultados desta entrada e da seguintes já foram sugeridos ou apresentados e mesmo demonstrados quando foram necessários em circunstâncias de resolução de problemas.
Aparecem agora destacados na sequência de demonstrações de propriedades da inversão que temos vimos a ilustrar com construções dinâmicas.
Nesta entrada, ilustramos e demonstramos o resultado:

Tomados dois pontos $P$ e $Q$ e seus correspondentes $P'$ e $Q'$ por uma inversão $I(O, r^2)$, verifica-se que $$ P'Q' = PQ \times \frac{r^2}{OP \times OQ}\; .$$

1. Em primeiro lugar abordamos a situação em que $O, P, Q$ são colineares.
   Aplicando a inversão de centro $O$ (circunferência vermelha), obtemos $P', Q'$ como correspondentes de $P, Q$ sobre uma reta que também passa por $O$.
   
   Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
   Pode deslocar $X$ no plano para fazer variar a reta $OX$ em que se tomam $P$ e $Q$ sobre a qual pode deslocar estes pontos. Claro que também pode alterar centro e raio da circunferência de inversão
   
   Demonstremos:
   Como $(P, P')$ e $(Q, Q')$ são pares da mesma inversão $I(O, r^2)$, $$OP \times OP' = OQ \times OQ'$$ e, sendo $O, P, Q, P', Q'$ colineares, podemos escrever $OP = OQ+QP$ e $OQ' = OP' + P'Q'$, e, $$(OQ+QP)\times OP' = OQ \times (OP' + P'Q')$$ $$ OQ \times OP' + QP\times OP'= OQ \times OP' + OQ \times P'Q' $$ $$QP \times OP' = OQ \times P'Q'$$ $$P'Q' = \frac{QP \times OP'}{OQ}$$ e, por ser $$OP' = \frac{r^2}{OP}$$ vem, finalmente, $$P'Q' = QP \times \frac{r^2}{OP \times OQ} \hspace{1cm} \square$$
2. Em segudo lugar, abordamos o caso em que $O, P$ e $Q$ não são colineares. A figura dinâmmica ilustra essa situação.
   Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
   Pode deslocar $O$ e $P$ e $Q$ no plano. E o centro $O$ e o raio da circunferência de inversão.
   
   Demonstremos:
   Como $(P,P')$ e $(Q, Q')$ são pares de correspondentes na mesma inversão $I(O, r^2)$ $$OP \times OP' =OQ \times OQ'$$ donde, $$\frac{OP}{OQ'}=\frac{OQ}{OP'}$$ e, por isso, se pode concluir que são semelhantes os triângulos $[OPQ]$ e $[OQ'P']$ - os lados $OP$ e $OQ$ em $[OPQ]$ e $OQ'$ e $OP'$ em $[OQ'P']$ do ângulo comum $P\hat{O}Q= Q'\hat{O}P'$ são proporcionais. Assim $$\frac{P'Q'}{PQ}= \frac{OQ'}{OP} = \frac{OP'}{OQ}$$ $$ P'Q' = PQ \times \frac{OQ'}{OP} = PQ\times \frac{r^2}{OP \times OQ} \hspace{1cm} \square $$

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992