Na entrada Inversão e ortogonalidade, do dia 1 de Agosto de 2013, provámos que uma circunferência que passe por dois pontos correspondentes numa $I(O,r)$ é ortogonal à circunferência de inversão.
Nas figuras dinâmicas que se seguem, tomamos dois pontos $A$ e $B$ correspondentes por $I(O,r^2)$ e um outro ponto $P$. Depois invertemos os dois pontos e a circunferência de centro $O$ e raio $r$ por uma inversão de centro $P$


  1. Na primeira delas, tomamos $P$ incidente na circunferência de centro $O$.
    Aplicando uma inversão de centro $P$ (circunferência violeta), obtemos $A', B'$ como correspondentes de $A, B$ e uma reta correspondente à circunferência de centro $O$. A figura sugere-nos que esta reta é o eixo de uma reflexão que relaciona $A'$ com $B'$

    Se uma circunferência de centro $O$ e dois pontos $A, B$ inversos relativamente a ela, forem invertidos por uma outra inversão de centro $P$ incidente nessa circunferência, obtemos dois pontos $A', B'$ e uma reta que é eixo da reflexão que faz corresponder a $A'$ o ponto $B'$.
    Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
    Pode deslocar $O$, $P$ e $A$ no plano.
    Se tomarmos duas circunferências que passem por $A$ e $B$, elas são ortogonais à circunferência de centro $O$ e as suas correspondentes pela inversão de centro $P$ passam por $A'$ e $B'$ são ortogonais à inversa da circunferência de centro $O$ e, em consequência, os pontos $A'$ e $B'$ são correspondentes pela reflexão que tem por eixo a reta inversa da circunferência de centro $O$.
  2. Se uma circunferência de centro $O$ e dois pontos $A, B$ inversos relativamente a ela, forem invertidos por uma outra inversão de centro $P$ não incidente nessa circunferência, obtemos dois pontos $A', B'$ e uma circunferência relativamente à qual os pontos $A'$ e $B'$ são inversos.
    Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

    Pode deslocar $O$ e $P$ e $A$ no plano.
    Se tomarmos duas circunferências que passem por $A$ e $B$, elas são ortogonais à circunferência de centro $O$ e as suas correspondentes pela inversão de centro $P$ passam por $A'$ e $B'$ são ortogonais à inversa da circunferência de centro $O$ e, em consequência, os pontos $A'$ e $B'$ são correspondentes pela inversão relativamente à inversa da circunferência de centro $O$.

Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992