Na figura dinâmica, que se segue, tomamos cinco circunferências: uma primeira (a vermelho) de centro $O$ e raio $r$ para definir a inversão $I(O, r^2)$, uma segunda (em amarelo) de centro $A$ e uma terceira (a azul) de centro $B$ que se intersetam em $P$ e as duas inversas das duas anteriores, que se intersetam em $P'$, inverso de $P$ por $I(O, r^2)$.
Por $P$ tiram-se duas tangentes: $a$, tangente à circunferência de centro $A$, e $b$ tangente à circunferência de centro $B$. E por $P'$ tiram-se também duas tangentes: $a'$, tangente à inversa da circunferência de centro $A$, e $b'$ tangente à inversa da circunferência de centro em $B$. Assinalamos os ângulos $\angle\; (a\hat{P}b)$ e $\angle\; (a\hat{P'} b')$ que fazem as tangentes por $P$ e por $P'$. A estes ângulos chamamos ângulos de duas circunferências no ponto de interseção ou simplesmente ângulos de duas circunferências

Uma inversão $I(O, r^2)$ preserva a amplitude do ângulo orientado de intersecção de duas circunferências, mas inverte o sentido da sua orientação.

De facto, a figura ilustra bem isso: os sentidos de $\angle \;( a\hat{P}b)$ e de $\angle\;( a'\hat{P'}b')$ são contrários.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar $O$ e $A$ e $B$ no plano.

Demonstremos:
Como vimos nas entradas anteriores, a tangente $a$ em $P$ à circunferência de centro em $A$ e a tangente $a'$ em $P'$ à inversa dessa circunferência estão relacionadas pela reflexão de eixo perpendicular a $PP'$ no seu ponto médio. O mesmo para $b$ e $b'$.
Assim, a reflexão relativamente à mediatriz de $[PP']$ transforma o $\angle \;(a\hat{P}b)$ no ângulo $\angle\;( a'\hat{P'}b')$. Como se sabe a reflexão preserva a amplitude e inverte o sentido dos ângulos. $\hspace{2cm} \square$
Estes últimos resultados reforçam a relação da inversão relativa a uma circunferência com a transformação reflexão relativamente a um eixo e justificam que se use tanto reflexão como inversão relativamente a uma circunferência.
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992