A inversa por $I(O,r^2)$ de uma circunferência que não passa por $O$ é uma circunferência homotética da original. O ângulo que a tangente num ponto qualquer $P$ desta circunferência faz com $OP$ é congruente com o ângulo que $OP$ faz com a tangente à inversa em $P'$ .
Dito de outro modo, as tangente em $P$ e em $P'$ são imagens uma da outra por reflexão de eixo perpendicular a $OP$ no ponto médio de $PP'$
Na figura dinâmica, que se segue, tomamos três circunferências: uma primeira (a vermelho) de centro $O$ e raio $r$ para definir a inversão $I(O, r^2)$, uma segunda (a azul) de centro $A$ da qual $P$ é ponto genérico e uma terceira (a azul) inversa da anterior por $I(O, r^2)$.
Sobre a reta $OP$ estão assinalados os seus pontos de interseção com as circunferências azuis: para além de $P$, marcamos o ponto $Q$ e os inversos respetivos $P', Q'$.
Pode deslocar $O$ e $A$ no plano e $P$ sobre a circunferência
Demonstremos:
Da inversão $I(O,r^2)$, retiramos $$OP \times OP' =OQ \times OQ'= r^2 \Leftrightarrow OQ=\frac{r^2}{OQ'}$$ e, chamando $k$ à potência de $O$ relativamente à circunferência de centro $A$:
$ \; \displaystyle OP \times OQ = OT^2= k \Leftrightarrow OQ =\frac{k}{OP}\; $ e, finalmente,
$\;\displaystyle \frac{r^2}{OQ'}= \frac{k}{OP}\;$
ou
$\displaystyle \frac{OQ'}{OP}=\frac{r^2}{k}$
isto é, há uma homotetia $\;(O, r^2/k)\;$ que transforma a circunferência original na sua inversa por $\;I(O, r^2)\;$, em particular, transforma $\;P\;$ em $\;Q'\;$ e, por isso,
a tangente em $\;Q'\;$ é paralela à tangente em $\;P\;$.
O triângulo formado por $\;P'Q'\;$ e por segmentos das tangentes em $\;P'\;$ e $\;Q'\;$ tiradas pelo seu ponto de interseção é isósceles, e, em consequência, isósceles é o triângulo formado por $\;P'P\;$ e pelas tangentes em $\;P'\;$ e em $\;P\;$ cada uma na sua circunferência azul.
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992