Como determinar uma homologia que transforme um quadrilátero qualquer num losango? A construção que se apresenta abaixo ilustra a resposta a essa pergunta.

Seja dado o quadrilátero ABCD. Já vimos que para que a figura homóloga de ABCD, A'B'C'D' seja um paralelogramo, há uma reta limite definida por L1=AB.CD e L2=AD.BC a que corresponderão, respetivamente, os pontos impróprios A'B'.C'D' e A'D'.B'C'
O centro O da homologia não pode ser qualquer ponto do plano, porque o losango é um paralelogramo de diagonais perpendiculares. Se tomarmos L3=BD.L1L2 e L4=AC.L1L2, será B'D'//OL3 e A'C'//OL4. Para ser B'D'⊥A'C', O terá de ser tal que OL3⊥ OL4, ou seja, O terá de ser um ponto da circunferência de diâmetro L3L4.
A homologia de que precisamos terá uma reta limite dependente do quadrilátero L1L2 e um centro O dependente do diâmetro L3L4 (pontos limite das diagonais do quadrilátero).
O eixo é uma qualquer reta paralela à reta limite.


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