Nesta entrada, apresentamos a construção de uma parábola por afinidade de outra parábola dada e de que conhecemos o eixo de simetria a e o vértice A (imagem de si mesmo pela reflexão relativa ao eixo a da parábola). A afinidade que consideramos é dada pelo eixo e e pelo par de correspondentes (A, A').
Como sabemos AA' dá a direção da afinidade que é o mesmo que dizer que para qualquer (X,X') de pontos homólogos pela afinidade, XX'//AA'. Também sabemos que o ponto A é duplo para a reflexão relativamente a a, está sobre t, perpendicular a a, tirada por A e é o único ponto da parábola e de t. A imagem, t', por afinidade de t, é a reta definida por e.t e A' e a imagem por afinidade do eixo a é a reta a' definida por e.a e A'.
O mais natural é que, para a afinidade considerada, a' não seja o eixo de simetria da parábola afim da dada (e A' não seja o seu vértice).
Nesta construção, determinamos quatro pontos homólogos, pela afinidade, de pontos da parábola dada, com o cuidado de termos entre eles, o vértice.
Para isso, tomamos uma perpendicular, n', a a' num dos seus pontos, N', e determinamos o seu homólogo, N, sobre a (NN'//AA') e a reta, n, homóloga de n', definida por e.n' e N.
Os pontos C e D da parábola original, em que n a corta, têm como homólogos, C' e D', pontos de interseção de n' com a parábola afim. Por n' ser perpendicular a a', C' e D' são simétricos relativamente a um eixo de reflexão que é o eixo da parabola afim e interseta esta em B' que é o vértice da parábola afim da original.

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