Na construção que se segue, determinamos duas cónicas afins por uma afinidade de eixo e de que é dado um par (O, O') de pontos correspondentes e a circunferência centrada num deles.
E sugerimos um processo elementar para determinar os eixos de simetria da elipse:
Os eixos de simetria da elipse são perpendiculares a passar pelo centro da elipse correspondentes a certos diâmetros da circunferência.
Tomado um diâmetro da circunferência intersetamo-lo com o eixo da afinidade. Por esse ponto de interseção tomamos uma reta a passar por O' e assim temos o diâmetro correspondente na elipse.
Assim para os eixos de simetria, basta tomar uma circunferência a passar por O e O' e com centro e diâmetro sobre o eixo de afinidade. Cada uma das meias circunferências separadas pelo eixo da afinidade circunscrevem ângulos retos cujos lados intersetam o eixo nos extremos do diâmetro da circunferência. Os lados dos ângulos retos centrados em O e O' intersetam-se sobre o eixo de afinidade. E assim temos os eixos de simetria da elipse e seus homólogos na circunferência (qualquer diâmetro da circunferência é seu eixo de simetria, mas só dois deles são correspondentes dos eixos da simetria da elipse homológica)

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Pode deslocar os pontos O e O' na figura.

A figura ilustra bem que qualquer par de tangentes paralelas da circunferência são perpendiculares nos extremos de uma corda que é a polar do ponto do infinito qe elas representam. Claro que, no caso da circunferência, essas cordas são diâmetros que têm todos um ponto em comum, polo da reta do infinito e centro da circunferência.
Como vimos, para as homologias que não eram afinidades, dadas uma circunferência e uma hipérbole homológicas, o centro da hipérbole era homóloga do ponto C de interseção das tangentes à circunferência em pontos homólogos de pontos impróprios (L1 e L2 na reta limite, C era o polo de L1L2 ). No caso da afinidade, os homólogos de pontos impróprios são pontos impróprios e as polares de pontos impróprios são os diâmetros a passar pelo centro. Porque a reta imprópria é afim de si mesma, ao seu polo relativamente a uma cónica corresponderá por afinidade o seu polo relativamente à cónica afim, que é o mesmo que dizer que os centros de cónicas afins correspondem-se (ou são homólogos) por afinidade.
Claro que a afinidade transforma diâmetros conjugados (em que o polo de cada um incide no outro) de uma cónica em diâmetros conjugados da sua afim. Cada diâmetro paralelo a duas tangentes paralelas contém o ponto impróprio que é o polo do diâmetro perpendicular a ele e é por isso que diâmetros perpendiculares da circunferência são conjugados (por cada um deles conter o polo do outro)
Na figura fica claro que há pares de diâmetros conjugados que por afinidade correspondem a diâmetros conjugados da elipse. Mas há um só par de diâmetros da circunferência que tem por correspondentes os eixos de simetria da elipse afim.