A construção seguinte servirá como ilustração de algumas propriedades da afinidade homológica.
  1. Em duas figuras afins, a todo o ponto impróprio de uma delas corresponde outro ponto impróprio na outra.
    Chamemos 1 ao ponto impróprio da reta AB corresponde um ponto 1' de A'B' na figura.
    A reta que passa por estes pontos 11' terá a direção da afinidade, isto é, terá de passar por O.
    1O será a reta imprópria do plano e a sua interseção com A'B' será 1'. Fica assim demonstrado que 1' é um ponto da reta impróprio de A'B', ou seja, é o ponto impróprio da reta A'B'.
  2. É assim óbvio que se duas retas AB e CD são paralelas (no caso, passam por 1) as suas homólogas por uma afinidade A'B' e C'D' também são paralelas (no caso, passam por 1').
    Dito de outro modo, a afinidade preserva o paralelismo (qualquer afinidade transforma retas paralelas em retas paralelas) e, por isso, a figura afim de um paralelogramo é outro paralelogramo.
    Por afinidade, um trapézio é transformado noutro trapézio, como é óbvio.


  3. Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Pode deslocar pontos da figura, o eixo e a direção da afinidade.
  4. Uma afinidade transforma a reta imprópria do plano em si mesma. Dito de outro modo, a reta imprópria é dupla para qualquer afinidade que é o mesmo que dizer que para a afinidade plana não há retas limite.
  5. Como consequência, se sabe que uma figura plana com n pontos impróprios é transformada noutra com n pontos impróprios. Uma elipse (sem pontos impróprios) é afim de uma elipse, uma parábola é afim de uma parábola, uma hipérbole é afim de uma hipérbole.
  6. Porque a reta imprópria é afim de si mesma, ao seu polo relativamente a uma cónica corresponderá por afinidade o seu polo relativamente à cónica afim, que é o mesmo que dizer que os centros de cónicas afins correspondem-se (ou são homólogos) por afinidade
  7. Claro que a afinidade transforma diâmetros conjugados (em que o polo de cada um incide no outro) de uma cónica em diâmetros conjugados da sua afim.