Na construção desta entrada, temos uma homologia definida pelo centro O, eixo e e reta limite l e uma circunferência cortada pela reta limite em dois pontos L1 e L2. Como já vimos antes a curva homológica desta circunferência é uma hipérbole precisamente por que dois dos seus pontos, L1 e L2, têm por homólogos dois pontos da reta do infinito (homóloga da reta limite). Tomadas as tangentes à circunferência em L1 e L2 (que passam pelo polo C de l), as suas homólogas são paralelas a OL1 e OL2 tiradas pelos pontos e.CL1 e e.CL2 que são tangentes em pontos do infinito (assíntotas) da hipérbole.
O homólogo de C, C', está no ponto de encontro das duas assíntotas, simétricas relativamente às bissetrizes do ângulo por elas formado. As bissetrizes são eixos de simetria da hipérbole homológica da circunferência. Os vértices A' e B' da hipérbole estarão numa das bissetrizes e serão homológos de pontos da circunferência A e B sobre a reta que passa por C e pelo ponto onde a bissetriz encontra o eixo da homologia. A' será a interseção de OA com a bissetriz. B' pode ser obtido do mesmo modo ou como simétrico de A' relativamente a C' ou à segunda bissetriz.
Qualquer ponto P' da hipérbole pode ser obtido sobre uma reta secante que passe por C' e sobre OP sendo P um ponto da circunferência sobre a reta que passa por C e pelo ponto de interseção da secante por C'. Os simétricos de P' relativamente a qualquer dos eixos são outros pontos da hipérbole.
Fica ainda ilustrado o facto da tangente à circunferência em A ser transformada na tangente à hipérbole em A' (perpendicular à bissetriz que é o eixo de simetria transverso).

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).