Retomamos homologias definidas pelo centro O, eixo e e reta limite l. Vamos determinar o quadrilátero homológico de um quadrilátero ABCD dado, por uma homologia definida por O, e, l.
Dados O, e, l e os quatro pontos A, B, C, D vamos determinar A', B' C', D' : O, A e A' são colineares; O, B e B' são colineares, etc e AB.A'B' é um ponto de e.... Consideremos os pontos I e K de interseção da reta definida por A e D com a reta limite e com o eixo: AD.l = {I} e AD.e= {K}. Como I é um ponto da reta limite é o ponto limite da reta AD: OI interseta A'D' no seu ponto impróprio e como K é o ponto da reta AD no eixo, A'D' terá de passar por K. Ou seja, a reta A'D' é a paralela a OI tirada por K.
Do mesmo modo, BC.e = {M} e BC.l = {J}, B'C' será a paralela a OJ tirada por M.
Assim ficam determinados: A' e D' como interseções de OA e OD com a paralela a OI tirada por K; B' C' como interseções de OB e OC com a paralela a OJ tirada por M. Confirmámos DC.D'C' ={N} em e, DB.D'B'= {P} de e, AB.A'B'= {L} também no eixo da homologia.
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

No caso da homologia que se vê ao abrir, a reta limite l não interseta os lados do quadrilátero ABCD e, por isso, o seu homológico não tem pontos impróprios A'B'C'D'.
Na próxima entrada, veremos o caso de polígono em que a reta limite interseta lados do polígono para ver o que acontece com o homológico.

F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004