Com compasso e régua euclidianos, transferir ângulos


A construção da entrada de 16 de Janeiro de 2014, intitulada
Com compasso e régua euclidianos, transferir distâncias
cria o conceito correspondente ao compasso actual, ao demonstrar que com circunferências (definidas por um ponto e um intervalo) e as retas (definidas por dois pontos) se podem transferir distâncias (segmentos), isto é construir um segmento congruente a outro. Este conceito de compasso, correspondente a uma série de operações com retas e circunferências, passa a ser usado em futuras construções.
A proposição I.23 dos "Elementos" trata da transferência de um ângulo. Pode enunciar-se: Dados um segmento $\,[AB]\;$ e um ângulo de vértice $\;D,\;$ e lados $\; DC, \; DE\;$ ou $\; \angle CDE\;$, construir um ângulo $\;\angle BAH\;$ congruente com $\;\angle CDE\;$
Habitualmente segue-se o esquema:
  1. $\;(D,\;r)\;$ e $\;(A, \; r)\;$ congruentes ($\;r\;$ qualquer)
    • $\;(D,\;r). \dot{D}C = {E}\;$
    • $\;(D,\;r). \dot{D}E = {F}\;$
    • $\;(A, \;r). \dot{A}B = {G}\;$
  2. $\;(G,\;EF)\;$
    • $\;(G,\;EF). (A,\;r|) = {\ldots, \;H}\;$
  3. $\;AH\;$
    • $\; AG =AH= DE=DF\;$ e
      $\; EF=GH\;$ -- cordas iguais correspondentes a arcos iguais de circunferências iguais (congruentes). $$\;(LLL) \rightarrow [GAH]=[EDF]\;$$ $$\angle BAH = \angle GAH = \angle EDF = \angle CDE$$
Resumindo: a transferência pedida exige quatro traçados: três circunferências (compasso novo) e uma reta (régua).


A construção que pode fazer a seguir com as ferramentas euclidianas (únicas fornecidas) segue o raciocínio que apresentámos e que se resume a transferir distâncias, como deve ter observado. Se não quiser fazer a construção, pode seguir as etapas da construção (baseadas no esquema descrito na entrada citada acima) fazendo variar os valores de $\; \fbox{n=i},\; i=1, 2, \ldots, \;6\; $





@geometrias, 7 abril 2016, Criado com GeoGebra

Sigamos os passos da construção, deslocando o cursor n. Procuramos determinar um ponto $\;H: \; \angle BAH = \angle CDE,\;$ usando só a circunferência e a reta, e a partir dos cinco pontos $\;A,\;B,\;C,\;D,\;E.$
  1. Partindo dos cinco pontos $\; A,\; B,\;C, \; D,\; E,\;$ começamos por transferir $\;AB\;$ para $\;\dot{D}C\;$ e $\;\dot{D}E\;$ a partir de $\;D\;$
    1. $(D,DA), \; (A, AD)$
      • (D,DA). (A, AD) --> P : ADP é um triângulo equilátero
    2. $\;(A,\;AB)\;$ e $\;AP\;$
      • $\;(A,\;AB).AP \rightarrow Q \;$ sendo $\;AQ= AB\;$
    3. $\;(P, PQ=PA+AQ)\;$ e $\;PD\;$
      • $\;(P, PQ=PA+AQ) . PD\; \rightarrow R$, sendo $\;PR=PD+DR =PQ=PA+AQ,\;$ é $\;DR=AB\;$
    1. $\;(D, \;DR)=(D, \;AB)\;$ e $\;DE, \; DC\;$
      • $\;(D, \;AB) . DC \rightarrow F \;$ sendo $\;DF=AB\;$
      • $\;(D, \;AB) . DE \rightarrow G \;$ sendo $\;DG=AB\;$
  2. Já temos $\;DCF=DEG= AB.\;$ Procuramos $\;H: \; BH=FG\;$ o que é o mesmo que transferir $\;FG\;$ para uma reta a passar e começando em $\;B\;$
    1. $\;(F, \;FB)\;$ e $\,(B, \;BF)\;$
      • $\;(F, \;FB) . (B, \;BF) \rightarrow S$
      • $\;BF=FS=SB \;$
    2. $\;(F, \;FG)\; $ e $\;SF\;$
      • $\;(F, \;FG) . \;SF \rightarrow T\;$ sendo $\;FT=FG\;$
    3. $\; (S, \; ST)\;$ e $\;SB\;$
      • $\; (S, \; ST) . SB \rightarrow U\;$ sendo $\;ST=SF+FT=SF+FG= SB+FG\;$ e $\;SU= SB+BU.\;$ E, em consequência, $\;BU=FG\;$ já que $\;ST=SU\;$
    4. $\;(A, \;AB)\;$ e $\;(B, \;BU)\;$
      • $\;(A, \;AB) . (B, \;BU) \rightarrow H\;$ sendo $\;BH=BU=FG\;$
      • E assim temos os ângulos $\;\angle BAH = \angle FDG =\angle CDE. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ □

    Comparando o trabalho feito com o compasso novo com este trabalho que recorre só ao compasso euclidiano, compreendemos um pouco melhor a genialidade na organização do estudo por Euclids, na construção de cada conceito (proposição-- problema de construção--, como prova de existência também de novas ferramentas). A partir de pontos, retas e circunferências a geometria de uma imensidão de construtíveis integrados… é um jogo que podemos jogar solitariamente, mas que partilhamos com prazer.


    1. EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885 edited, and provided with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick
    2. David Joyce. Euclide's Elements
    3. George E. Martins. Geometric Constructions Springer.ew York; 1997
    4. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2002
    5. Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry Jones and Bartlett Publishers, Boston: 1991.