O 7º lugar geométrico da lista

O 4º lugar geométrico da lista era defnido como conjunto de pontos $P$ a igual distância de duas retas concorrentes $a$ e $b$ (bissetrizes dos ângulos $\angle \hat{a, b}$). Concentremo-nos no 4º que é afinal um caso particular do 7º para $k=1$

O 7º lugar geométrico da lista foi assim enunciado
VII.O lugar geométricos dos pontos cujas distâncias a duas retas concorrentes dadas estão numa dada razão $k$ é um par de retas que passam pelo ponto de interseção das retas dadas.
O lugar geométrico (IV) - bissetriz - é um caso particular deste em que k=1.

Usando o lugar
II. O lugar geométrico dos pontos a uma dada distância de uma dada reta consiste em duas retas paralelas à reta dada e à distância dada desta, a construção que se segue iustra bem o processo seguido, em tudo semelhante ao já usado antes:
  1. Tomamos as retas $a$ e $b$ que se intersetam num ponto $O$, um seletor $d$ e um outro $k$.
  2. Para um valor de $k$, tomamos uma circunferência centrada num ponto de $a$ e de raio $\;k.d\;$ e outra circunferência centrada num ponto de $b$ e de raio $d$. Para a primeira delas, tomamos o diâmetro perpendicular a $a$ e pelos seus extremos tiramos paralelas a $\;a - \;a_1, a_2\; -$ lugar geométrico dos pontos à distância $k.d$ de $a$. Do mesmo modo, obtemos as paralelas a $\;b - \;b_1, b_2\: -$ lugar geométrico dos pontos à distância $d$ de $b$.
  3. As quatro retas $a_1 b_1 a_2 b_2$ formam um paralelogramo ($\; a_1 \parallel a_2, b_1 \parallel b_2\;$) cujas diagonais se bissetam em $\;O\;$ e de vértices $\;P_1 \;(a_1.b_1), P_2 \; (a_2.b_2), P_3 \; (a_2.b_2), P_4 \; (a_1.b_2)$. Estes pontos ${P_i: i=1, 2, 3, 4}$ estão à distância $d.k$ de $a$ e à distância $d$ de $b$, ou seja , são pontos tais que a razão das suas distâncias a $a$ e $b$ é $k$.

    © geometrias, 8 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra


  4. O botão de animação ao fundo à esquerda está ligado ao seletor $d$. Para cada valor de $k$, ao fazer variar $d$ obtemos um paralelogramo de vértices $P_i$ - extremos das diagonais $P_1P_3$ (sobre $l_1$) e $P_2P_3$ (sobre $l_2$) - que são do VII lugar geométrico que procuramos determinar.
    Mas será que, dados $a, b, k$, $l_1 \cup l_2$ é o lugar geométrico dos pontos $P$ tais que é $k$ a razão das suas distância a $a$ e a $b$ ?
  5. Consideremos um ponto $P$ de $l_1 \cup l_2$, $P \in l_1 \vee P \in l_2$, por exemplo, $P \in l_1$. Sabemos que para um dado valor $d_1$ de $d$, há um ponto $P_1 =a_1.b_1$ à distância $d_1$ de $b$ e à distância $k.d_1$ de $a$. As homotetias de centro $O$ transformam cada uma das retas $a, b, l_1, l_2$ em si mesmas. E transformam segmentos proporcionais em segmentos proporcionais na mesma razão, por isso, a homotetia de centro $O$ que transforma $P_1$ em $P$, transforma o segemnto $d_1$ da perpendicular a $b$ tirada por $P_1$ em $PH_b$ e o segmento $k.d_1$ da perpendicular a $a$ tirada por $P_1$ em $PH_a$. Por isso $PH_a=k.PHb$ e P é ponto do lugar geométrico que procuramos. Raciocínio análogo prova que um ponto de $l_2$ é ponto do lugar geométrico. O ponto $O (=l_1.l_2)$ é um ponto do lugar geométrico já que $ 0 = 0 \times k$
  6. Reciprocamente: Seja um ponto qualquer $P: PH_a = k.PH_b$. Conduzamos por $P$ uma paralela $b'$ a $b$. Sobre esta $b'$ paralela a $b$, não há mais que dois pontos de $l_1 \cup l_2$ e, dada a definição de $P$, as interseções de $b'$ com $l_1 \cup l_2$ são pontos deste conjunto. Logo $P$ tem de ser um dos dois pontos da interseção $b'.(l_1\cup l_2)$, ponto de $l_1\cup l_2$. Como queríamos.
Notas: