Circunscrever um pentágono regular a uma circunferência dada

Quando apresentámos os passos da construção de um pentágono regular inscrito num círculo e a respetiva demonstração de que o pentágono assim construído é equilátero e equiângulo - (11.4), fechamos um ciclo de trabalho que consistiu em seguir os resultados dos Livros I a IV necessários para o fim em vista, ao mesmo tempo que chamamos atenção para a organização de "Os Elementos".
A este respeito, para além dos livros referidos ao longo dos anos, recomendamos vivamente a consulta do espantoso, paciente e persistente trabalho de David E. Joyce , DMCS, Clark University
A última entrada serviu para verificar a validade da construção mais usual do pentágono regular inscrito numa circunferência dada.

Nesta entrada construímos um pentágono regular tal que cada um dos seus lados é tangente a um círculo dado, aplicando (11.4)
LIVRO IV: PROP. XII. PROB.
Circunscrever a um círculo dado um pentágono equilátero e equiângulo.

. A construção consiste em O pentágono circunscrito de vértices $\;G, \;H,\; K,\;L,\;M\;$ (obtidos por intersecção de pares de tangentes em pares de vértices consecutivos do pentágono $\;A,\;B,\;C,\;D, \;E\;$ regular inscrito) é um pentágono equilátero e equiângulo. Em seguida vamos demonstrar que assim é.

Na construção abaixo, para além dos pontos $\;A,\;B,\;C,\;D, \;E. \;F,\;G,\;H, \;K,\;L,\;M\;$ e dos segmentos $\;GH,\; HK, \; KL,\;LM,\;MG\;$ apresentamos os segmentos $\;FA,\;FB,\;FC,\;FD,\;FE,\;\;FG,\;FH,\;FK,\;FL,\;FM,\; $ necessários para a demonstração.

© geometrias. 29 de Maio de 2015, Criado com GeoGebra




Comecemos por demonstrar que o pentágono $\;GHKLM\;$ construído é equilátero:
Por serem raios da circunferência dada $\;FA=FB=FC=FD=FE\;$ e $\;GH, \;HK,\;KL,\;LM,\;MG\;$ serem tangentes ao círculo respetivamente em $\;A, \;B,\;C,\;D,\;E\;$, $\;\angle F\hat{A}G=\angle F\hat{A}H=\angle F\hat{B}H=\angle F\hat{B}K = \angle F\hat{C}K=\angle F\hat{C}L=\angle F\hat{D}L=\angle F\hat{D}M = \angle F\hat{E}M=\angle F\hat{E}G = 1 reto \;\;\;\;$ (18.3)
Tomemos um par de triângulos, por exemplo $\;FBK, \;FKC\;$ ambos retângulos, um em $\;B\;$ outro em $\;C\;$ e com $\;FK\;$ para lado comum.
Por (47.1) o quadrado de lado $\;FK\;$ tanto é igual em área ao quadrado de lado $\;FB\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;BK\;$, como ao quadrado de lado $\;FC\;$ acrescentado do quadrado de lado $\;KC\;$. Estas duas últimas figuras iguais à mesma (quadrado de lado $\;FK\;$) são iguais entre si (ax 1) e se retirarmos a cada uma delas um quadrado de lado $FB=FC$ ficamos com duas figuras iguais (ax 3) os quadrados de lados $\;BK\;$ e $\;CK\;$: $\;BK=CK.\;$
Por (8.1), por ser $\;FB=FC, \; BK=CK\;$ e $\;FK\;$ comum aos dois triângulos $\;FBK, \; FKC\;$, concluímos que $\; \angle B\hat{F}K=\angle C\hat{F}K \; \; \angle B\hat{K}F = \angle F\hat{K}C.\;$ Em consequência, como $\; \angle B\hat{F}C=\angle B\hat{F}K+\angle C\hat{F}K, \;\; \angle B\hat{F}C= 2\times\angle B\hat{F}K\; $ e, do mesmo modo, $\; \angle B\hat{K} C = 2\times \angle F\hat{K}C.\;$
Pela mesma razão, $\; \angle C\hat{F}D= 2\times\angle C\hat{F}K, \; \; \; \; \angle D\hat{F}C= 2\times\angle L\hat{F}C.\; $
Por (27.3) Como os segmentos e arcos $\;BC,\; CD\;$ são iguais, $\angle B\hat{F}C = \angle C\hat{F}D\;$ e como $ \; \angle B\hat{F}C= 2\times\angle C\hat{F}K\; \wedge D\hat{F}C= 2\times\angle L\hat{F}C, \; $ $\; \angle F\hat{C}K = \angle F\hat{C} L\;$ e, por (26.1), sendo iguais os triângulos $\;FKC\;$ e $\;FLC,\;$ como $\; \angle F\hat{C}K = \angle F\hat{C} L,\;$ $\;KC = CL\; \wedge \;FK= FL \;$ e daí $\;KL = 2\times KC.\;$ Pela mesma razão $\;HK= 2\times BK\;$ e como $\;BK=KC\;$ é $\;HK=2\times KC =KL.\;$
De modo análogo, se prova que $\;HG=GM =ML=KL=KL.\;$ □

Finalmente demonstramos que o pentágono $\;GHKLM\;$ construído é equiângulo:
Já vimos antes que $\; \angle F\hat{K} C = \angle F\hat{L}C.\;$ e que, por ser $\;\angle H\hat{K}L = 2\times \angle F\hat{K}C, \;\angle K\hat{L}M = 2 \times \angle F\hat{L}C, \;\;\;\; \; \angle H\hat{K}L = \angle K\hat{L}M. \;$
De modo análogo, se prova que
$\;\angle G\hat{H}K = \angle H\hat{K}L = \angle K\hat{L}M = \angle L\hat{M}G= \angle M\hat{G}H \;$
Fica provado que o pentágono $\;GHKLM\;$ é equiângulo. □

Livro I
POSTULADO I
Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta.
POST III
E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.
AXIOMA I.
As cousas que são iguais a uma terceira, são iguais entre si
AXIOMA II.
Se a coisas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais
AXIOMA III.
E se de cousas iguais se retirarem outras iguais, os restos serão iguais
PROP. I. PROB.
Sobre uma linha reta determinar um triângulo equilátero
PROP. II. PROB.
De um ponto dado tirar uma linha reta igual a outra linha reta dada.
PROP. V. TEOR.
Em qualquer triângulo isósceles, os ângulos que estão sobre a base são iguais e produzidos os lados iguais os ângulos que se formam debaixo da base são também iguais
PROP. VI. TEOR.
Se dois ângulos de um triângulo forem iguais, os lados opostos a estes ângulos serão também iguais
PROP. VIII. TEOR.
Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, e as bases também iguais, os ângulos compreendidos pelos lados iguais seão também iguais. PROP. XI. PROB.
De um ponto dado em uma linha reta dada levantar uma perpendicular sobre a mesma reta dada
PROP. XXVI. TEOR.
Se em dois triângulos dois ângulos de um forem iguais dois ângulos do outro, cada um a cada um, e um lado do primeiro igual a um lado do outro, e forem estes lados ou adjacentes ou opostos a ângulos iguais, os outros lados dos dois triângulos serão iguais aos outros lados, cada um a cada um; e também o terceiro ângulo será igual ao terceiro.
PROP. XXXII. TEOR.
Em todo o triângulo, produzido um lado qualquer, o ângulo externo é igual aos dois internos e opostos e os três ângulos internos de um triângulo qualquer são iguais a dois retos.
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Livro II
PROP. I. PROB.
Achar o centro de um círculo dado
PROP.VI. PROB
Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em direitura com ela se puser outra reta, será o retângulo compreendido pela reta tôda e mais a adjunta, e pela mesma adjunta juntamente com o quadrado da metade da primeiro igual ao quadrado da reta, que se compõe da mesma metade, e da outra reta adjunta.
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LIVRO III
DEFINIÇÂO VI.
Segmento de círculo é uma figura compreendida por uma linha reta e por uma porção da circunferência do círculo
DEFINIÇÂO VII.
O ângulo do segmento é aquele que é formado pela reta e pela porção de circunferência
DEFINIÇÂO VIII.
Um ângulo se diz estar ou existir no segmento quando é formado pelas retas que, de um ponto qualquer, tomado na circunferência do segmento, se tiram para os extremos da reta que é a base do segmento.
PROP. I. PROB.
Achar o centro em um círculo dado. PROP. XVI. TEOR.
A reta, que de uma extremidade do diâmetro de um círculo se levantar, perpendicularmente, sôbre o mesmo diâmetro, cairá tôda fora do círculo; e entre esta reta e a circunferência não se poderá tirar outra linha reta alguma; que é o mesmo que dizer, que a circunferência do círculo passará entre a perpendicular ao diâmetro, e a reta que com o diâmetro fizer um ângulo agudo, por groode que seja; ou também que a mesma circ1tnferência passará entre a dita perpendicular e outra reta, que fizer com a mesma perpendicular um ângulo qualquer, por pequeno que seja
PROP. XVIII. TEOR.
Se uma linha reta tocar um círculo, e do centro fôr tirada para o ponto do contacto outra reta, esta cairá perpendicularmente sôbre a tangente
PROP. XX. TEOR:
Em todo o círculo o ângulo que é feito no centro é o dobro do ângulo que está na circunferência, tendo cada um destes ângulos como por base a mesma porção da circunferência.
PROP.XX!. TEOR.
Em todos o círculo os ângulos que existem no mesmo segmento são iguais entre si
PROP. XXVI. TEOR.
Em círculos iguais os ângulos, que são iguais, e existem ou nos centros ou nas circunferências, assentam sobre arcos também iguais.
PROP. XXIX TEOR.
Em círculos iguais, a arcos iguais correspondem cordas iguais.
PROP. XXXII. TEOR.
Se uma linha reta for tangente de um círculo e se do ponto do contacto se tirar outra reta que divida o círculo em dois segmentos, os ângulos que esta reta fizerem com a tangente serão iguais aos ângulo que existem nos segmentos alternos
PROP. XXXVII. TEOR.
Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra chegue somente até a circunferência; e se o retângulo compreendido pela reta inteira que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, fôr igual ao quadrado da reta incidente sôbre a circunferência, será a reta incidente tangente do círculo
Livro IV
DEFINIÇÃO III.
Uma figura retilínea se diz inscrita em um círculo quando cada um dos ângulos dela toca a circunferência do circulo
DEFINIÇÃO IV.
Uma figura retilínea se diz circunscrita a um círculo quando cada um dos lados da dita figuran toca a circunferência do circulo
DEFINIÇÃO VII
Uma linha reta se diz inscrita em um círculo quando as extremidades dela estão na circunferência
PROP. I. TEOR.
Em um círculo dado inscrever uma linha reta igual a outra dada, e não maior que o diâmetro do círculo dado.
PROP. II. PROB.
Em um círculo dado inscrever um triângulo equiângulo a outro triângulo dado.
PROP. V. PROB.
Circunscrever um círculo a um triângulo dado.


  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000