elementos: triângulo isósceles com cada ângulo da base duplo do terceiro

As últimas entradas com publicações de alguns teoremas e problemas (acompanhados das construções dinâmicas auxiliares) de "Os Elementos" procuram chamar a atenção para a forma como Euclides organizou "Os Elementos". Procuramos fazer isso, seguindo resultados dos livros I a IV necessários para a inscrição de um pentágono regular num círculo dado. Vamos, nesta entrada, olhar para um problema de construção do Livro IV que mobiliza, entre outras proposições, as seguintes:
PROP. XI. PROB. do Livro II: Dividir uma linha reta de sorte que o retângulo da toda e de uma parte seja igual ao quadrado da outra parte
e
PROP. XXXVII. TEOR. do Livro III: Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra chegue somente até a circunferência; e se o retângulo compreendido pela reta inteira que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, fôr igual ao quadrado da reta incidente sôbre a circunferência, será a reta incidente tangente do círculo
que aqui foram apresentadas anteriormente.
Livro IV - PROP.X. PROB.

Construir um triângulo isósceles de maneira que cada um dos ângulos, que estão sobre a base, seja o dobro do ângulo do vértice.

Dados dois pontos $\;A, \;B\;$, procuramos determinar, por construção com régua e compasso, um ponto $\;P\;$ tal que $\;AP=AB\;$ e que $\;\angle A\hat{B}P = \angle B\hat{P}A= 2\times \angle P\hat{A}B \;$. A primeira daquelas condições - $\;AP=AB\;$ - é verificada por qualquer ponto $\;P\;$ de uma das circunferências $ \; (A, \;AB)\;$ de centro $\;A\;$ e raio $\;AB.\;$ (ou de $\;(B, \;BA)\;$).
A segunda daquelas condições exige a verificação das proposições citadas acima e aproveitamos para chamar a atenção para a distinção entre o que são passos de uma construção da totalidade dos passos necessários para as determinações e demonstrações das propriedades e que pode agora comparar.
As regras para contar passos de uma construção são simples:
— cada utilização da régua para traçar uma reta de um ponto a outro ou passando por eles para além deles conta-se como um passo;
— cada utilização do compasso para traçar uma circunferência considerado um ponto ($\;A\;$ - centro) e um intervalo $\;AB\;$ dados conta-se como um passo;
— As interseções de retas, de reta com circunferência ou de circunferências construídas consideram-se definidas pelas retas e circunferências e não contam como passos.

Nas demonstrações dessas proposições apresentadas, que pode ver, há muitos passos que obviamente não vão constar agora:
Os primeiros nove passos chegam para determinar um ponto $\;K:\; AB\times KB = AK^2\;$ (11.2)
Os cinco passos seguintes chegam para determinar o ponto $\;P:\; AP=AB \wedge AP=AK\;$ que, seguindo (37.3) garante que por ser $\;BP^2= AB\times BK\;$ $\;BP\;$ é tangente ao círculo $\;AKB\;$
Finalmente realçamos o triângulo $\;ABP\;$ e figuras de apoio para a demonstração final com relações entre ângulos de um triângulo isósceles e inscritos e com vértices numa circunferência.


© geometrias. 22 de Abril de 2015, Criado com GeoGebra

Fazendo variar os valores de n no cursor ao fundo, pode seguir os passos da construção. Para n=15 pode ver a figura construída e os elementos que apoiam a demonstração.

Determinação de $\;K\;$ conforme (11.2)

$\fbox{n=1}$     Traça-se a reta $\;AB\;$ com régua (Postulado I)
$\fbox{n=2}$     Traça-se a circunferência $\;(A, \; AB)\;$ com compasso (Post. II) e fica definido o ponto $\;C\;$ para além dos dados
$\fbox{n=3}$     $\;(B, \;BC)\;$
$\fbox{n=4}$     $\;(C, \;CB)\;$ e ficam definidos mais dois pontos dos quais tomamos $\;D\;$
$\fbox{n=5}$     $\;DA\;$ (perpendicular a $\;AB\; $ em $\;A$ ) e ficam definidos mais dois pontos comuns a $\;AD\;$ e $\;(A, \; AB)$
$\fbox{n=6}$     $\;(E, \;EA)\;$ e ficam definidos mais dois pontos $\;F,\;G\;$ comuns a $\;(E, \;EA)\;$ e $\;(A, \; AB)\;$
$\fbox{n=7}$     $\;FG\;$ e ficam definidos outros pontos de intersecção dos quais tomamos o ponto $\;H,\;$ médio de $\;AE\;$
$\fbox{n=8}$     $\;(H, \;HB)\;$ e ficam definidos outros pontos, dos quais tomamos $\;J\;$ um dos pontos comuns a $\;(H, \;HB)\;$ e $\;DA\;$
$\fbox{n=9}$     $\;(A, \; AJ)\;$ e dos novos pontos definidos tomamos $\;K\;$ sobre $\;AB\;$ e tal que $\; AK^2 = AB\times BK\;$

Determinação de $\;P:\; BP = AK $ conforme (2.2) e (1.4)


$\fbox{n=10}$     $\;(K,\; KB)\;$
$\fbox{n=11}$     $\;(B,\; BK)\;$ e ficam definidos $\;M, \;N$
$\fbox{n=12}$     $\;MN\;$ e fica definido $\;O, \;$ ponto médio de $\;KB$
$\fbox{n=13}$     $\;(O, \;OA\;$ e ficam definidos outros pontos dos quais tomamos $\;L, \;$ tal que $\;BL=AK\;$ por ser $ \;OA =OL\;$ ou
                  $\;AK+KO = OB+BL\;$ de que removemos $\;KO\;$ e $\;BO\;$ congruentes
$\fbox{n=14}$     $\;(B, \;BL)\;$ e ficam vários pontos dos quais tomamos $\;P\;$ comum a $\;(B, \;BL)\;$ e $\;(A, \;AB)\;$

Finalmente, o que falta demonstrar:

De toda a construção feita, deixámos o segmento $\;AB\;$ e acrescentámos Sabemos que $\;AP=AB\;$ e que, sendo $\;BP =AK, \; BP^2 = AK^2 = BA\times BK$, por (37.3) $\;BP\;$ é tangente à circunferência $\;(AKP)\;$ em $\;P.\;$

Por (32.3) $\;\angle K\hat{P}B=\angle P\hat{A}K\;$.
Acrescentando $\;\angle K\hat{P}A\;$ a cada um daqueles ângulos congruentes, (ax.2) $\;\angle K\hat{P}B+ \angle K\hat{P}A = \angle P\hat{A}K+ \angle K\hat{P}A\;$ ou $\;\angle B\hat{P}A =\angle P\hat{A}K+ \angle K\hat{P}A.\;$
Por ser $\; \angle B\hat{K}P\;$ ângulo externo do triângulo $\;KPA\;$, por (32.1) e (ax. 1), $\; \angle B\hat{K}P= \angle P\hat{A}K + \angle K\hat{P}A =\angle B\hat{P}A.\;$
Sendo por construção $\;AB=AP,\;\;\angle A\hat{P}B = \angle A\hat{B}P\;$, por (5.1).
Como $\; \angle B\hat{K}P =\angle B\hat{P}A.\;$ e $\;\angle A\hat{P}B = \angle A\hat{B}P, \; \angle B\hat{K}P = \angle A\hat{B}P, \;$ podemos dizer que o triângulo $\;BKP\;$ é isósceles $\;BP=KP\;$
Do mesmo modo, como, por construção, $\;BP=AK\;$, também o triângulo $\;KPA\;$ é isósceles e $\;\angle K\hat{P}A= \angle P\hat{A}K\;$
Sabemos agora que $\; \angle P\hat{A}K + \angle K\hat{P}A =\angle B\hat{P}A.\;$ e que que $\;\angle K\hat{P}A= \angle P\hat{A}K= \angle P\hat{A}B\;$ e podemos escrever $$ \; \angle P\hat{A}B + \angle P\hat{A}B =\angle B\hat{P}A =\angle A\hat{B}P, \;$$ como queríamos. □

Livro I
POSTULADO I
Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha reta.
POST III
E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.
AXIOMA I.
As cousas que são iguais a uma terceira, são iguais entre si
AXIOMA II.
Se a coisas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais
AXIOMA III.
E se de cousas iguais se retirarem outras iguais, os restos serão igauis
PROP. I. PROB.
Sobre uma linha reta determinar um triângulo equilátero
PROP. II. PROB.
De um ponto dado tirar uma linha reta igual a outra linha reta dada.
PROP. V. TEOR.
Em qualquer triângulo isósceles oa ângulos que estão sobre a base são iguais e produzidos os lados iguais os ângulos que se formam debaixo da base são também iguais
PROP. VI. TEOR.
Se dois ângulos de um triângulo forem iguais, os lados opostos a estes ângulos serão também iguais
PROP. XI. PROB.
De um ponto dado em uma linha reta dada levantar uma perpendicular sobre a mesma reta dada
PROP. XXXII. TEOR.
Em todo o triângulo, produzido um lado qualquer, o ângulo externo é igual aos dois internos e opostos e os três ângulos internos de um triângulo qualquer são iguais a dois retos.
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Livro II
PROP. I. PROB.
Achar o centro de um círculo dado
PROP.VI. PROB
Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em direitura com ela se puser outra reta, será o retângulo compreendido pela reta tôda e mais a adjunta, e pela mesma adjunta juntamente com o quadrado da metade da primeiro igual ao quadrado da reta, que se compõe da mesma metade, e da outra reta adjunta.
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LIVRO III
DEFINIÇÂO VI.
Segmento de círculo é uma figura compreendida por uma linha reta e por uma porção da circunferência do círculo
DEFINIÇÂO VII.
O ângulo do segmento é aquele que é formado pela reta e pela porção de circunferência
DEFINIÇÂO VIII.
Um ângulo se diz estar ou existir no segmento quando é formado pelas que de um ponto qualquer, tomado na circunferência do segmento, se tiram para os extremos da reta que é a base do segmento.
PROP. XXXII. TEOR.
Se uma linha reta fora tangnete de um círculo e se do ponto do contacto se tirar outra reta que divida o círculo em dois segmentos, os ângulos que esta reta fizerem com a tangnete serão iguais aos ângulo que existem nos segmentos alternos
PROP. XXXVII. TEOR.
Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem duas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra chegue somente até a circunferência; e se o retângulo compreendido pela reta inteira que corta o círculo e pela parte dela que fica entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, fôr igual ao quadrado da reta incidente sôbre a circunferência, será a reta incidente tangente do círculo
Livro IV
DEFINIÇÃO III.
Uma figura retilínea se diz inscrita em um círculo quando cada um dos ângulos dela toca a circunferência do circulo
DEFINIÇÃO VII
Uma linha reta se diz inscrita em um círculo quando as extremidades dela estão na circunferência
PROP. I. TEOR.
Em um círculo dado inscrever uma linha reta igual a outra dada, e não maior que o diâmetro do círculo dado. PROP. V. PROB.
Circunscrever um círculo a um triângulo dado.


  1. Euclides. Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino , Adicionados e Ilustrados por ROBERTO SIMSON, Prof de Matemática na Academia de Glasgow. Revistos para Edições Cultura por ANÍBAL FARO. Edições Cultura. São Paulo (BR): 1944
  2. Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and beyond Springer. New York: 2000