Usando o método das transformações geométricas (24)

Problema:     Em que pontos devem ser construídas as pontes perpendiculares aos rios de margens $\;a, \;b\;$ e $\;c,\;d\;$ paralelas que separam duas cidades $\;A, \;B\;$ de tal modo que se possa construir uma estrada entre elas o mais curta possível?

A construção a seguir ilustra essa resolução do problema recorrendo a transformações geométricas, no caso composta de translações. Utilizamos o problema resolvido anteriormente e ao apresentar esta resolução fica sugerido o processo para problema com qualquer número de rios
  1. Estão dados na figura os dois pontos $\;A,\;B\;$ - cidades, e as pares de retas paralelas $\;(a, \;b)\;$ e $\;((c, \;d)\;$ - margens dos rios que separam as duas cidades.


  2. © geometrias, 6 de Junho de 2014, Criado com GeoGebra


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  3. Temos de contar com as travessias dos dois rios: na direção perpendicular às margens $\;(a, \;b)\;$ e comprimento igual à distância entre elas - segundo $\;\overrightarrow{u}$, e na direção perpendicular às margens $\;(c, \;d)\;$ e comprimento igual à distância entre elas - segundo $\;\overrightarrow{v}\;$
  4. À semelhança do que fizemos na entrada anterior, aplicamos a $\;A\;$ a translação associada a $\;\overrightarrow{u}\;$ (travessia do primeiro rio), obtendo $\;L'= A+ \;\overrightarrow{u}\;$ que, no caso de um só obstáculo ligaríamos a $\;B\;$.
  5. No caso dos dois rios, acrescentamos a seguir à primeira travessia, a travessia do segundo rio, obtendo $\;N'=L'+ \;\overrightarrow{v} = A'+\;\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\;$
    $N'\;$ é obtido pela composta da translação associada a $\;\overrightarrow{u}\;$ seguida da translação associada a $\;\overrightarrow{v}\;$
    A estrada mais curta entre $\;A\;$ e $\;B\;$ terá assim o comprimento $\;AL'+L'N' + N'B$
  6. O desenho da estrada será construído:
    • desenhe-se a reta $\;N'B\;$ que interseta $\;d\;$ em $\;N\;$
    • a perpendicular a $\;d\;$ tirada por $\;N\;$ interseta $\;c\;$ em $\;M\;$ (ou tome-se $\;M= N - \overrightarrow{v}\;$)
    • Tira-se por $\;M\;$ a reta paralela a $\;N'B\;$ (ou toma-se a reta $\;L'M\;$) que interseta a reta $\;b\;$ em $\;L\;$
      $\;[N'NML']\;$ é um paralelogramo: $\;L'N' \parallel MN$, $\;L'M \parallel N'N$, $\;L'N' = MN$, $\;L'M = N'N$
    • Toma-se agora $\;K= L-\overrightarrow{u}\;$ que está sobre $\;a\;$.
      Temos outro paralelogramo $\;[L'LKA]\;$: $\;AL' \parallel KL, \; L'L \parallel AK, \;AL' = KL, \; L'L = AK$
    • $AK \parallel L'M \parallel N'B, \;AL' \parallel KL \;$ e $\;L'N'\parallel MN$
      Como $\;AK=L'L$ e $\;L'M=L'L+LM= N'N\;$ então $\;AK+LM = M'N\;$ e $\;KL+MN=AL'+L'N' =u+v\;$ e o comprimento da estrada vermelha $$\;AK + KL + LM + MN + NB$$ é igual ao comprimento $$ (KL+MN) + (AK+LM)+NB = AL'+L'N'+N'N+NB= AL'+L'N'+N'B$$ do caminho mais curto.