Usando o método das transformações geométricas (3)

Problema:
Determinar uma reta de direção dada que determina cordas iguais em duas circunferências $(O_1)$ e $(O_2)$ dadas.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema.


© geometrias, 23 de Abril de 2014, Criado com GeoGebra


Clicando sobre o botão Resolução (direita ao fundo) pode ver a resolução:
  1. A translação transforma uma circunferência numa outra circunferência congruente à primeira, sendo que cada corda da primeira é transformada em corda da segunda, de igual comprimento.
  2. Para resolver o problema apresentado, bastará efetuar a translação de uma das circunferências segundo um vetor com a direção dada:
    • Tirem-se por $\;O_1\;$ e $\;O_2\;$ perpendiculares à direção dada e logo uma paralela por $\;O_1\;$ (podia ser por $\;O_2\;$) que interseta a perpendicular que passa por $\;O_2\;$ em $\;E\;$. E tome-se o vetor $\;\;\overrightarrow{O_1E}\;$ para vetor da translação.
    • A circunferência $\;(E)\;$ é a imagem de $\;(O_1)\;$ pela translação $\;\;\displaystyle \cal{T}_{\overrightarrow{O_1E}}\;$ , no caso da nossa figura
  3. Podia não haver solução, mas na direção dada e n o caso da nossa figura, $\;(E).(O_2) ={F,G}\;$ sendo $\;FG\;$ uma corda comum às duas circunferências $\;(E), (O_2)$. $\;\;FG$ é imagem de uma corda $\;F'G'\;$ de $\;O_1\;$ por $\;\displaystyle \cal{T}_{\overrightarrow{O_1E}}$

Claro que pode não haver solução. Pode deslocar os dados azuis, direção e circunferências, para ver o que se passa em diversas situações.